Se investiga el desempe\u00f1o de tres modelos para el pron\u00f3stico\u00a0de series temporales con estacionalidad creciente\u00a0y pocos datos. Dos de ellos son regresiones (una\u00a0lineal con transformaci\u00f3n Box-Cox y la otra no lineal).\u00a0Estos modelos son comparados contra una alternativa\u00a0autorregresiva con transformaci\u00f3n Box-Cox. Los resultados\u00a0indican que los modelos con trasformaci\u00f3n\u00a0Box-Cox pronosticar\u00e1n mejor horizontes de predicci\u00f3n\u00a0comprendidos entre uno y cuatro meses. Para horizontes\u00a0mayores o iguales a cinco, el modelo de regresi\u00f3n\u00a0no lineal ser\u00e1 la mejor alternativa. En general, el desempe\u00f1o\u00a0de los modelos de regresi\u00f3n superar\u00e1 al de la\u00a0alternativa autorregresiva.<\/p>\n
Palabras clave:<\/strong> series temporales, modelos de regresi\u00f3n,\u00a0pron\u00f3stico, estacionalidad y pruebas de hip\u00f3tesis.<\/p>\n Abstract<\/strong><\/em><\/p>\n The performance of three time series prediction models\u00a0with increasing seasonality and little data is studied.\u00a0Two of them are regression models (one linear with\u00a0Box-Cox transformation, and the other nonlinear). The\u00a0mentioned models are compared against an autoregressive\u00a0model with Box-Cox transformation as an alternative.\u00a0The results indicate that the models with Box-Cox\u00a0transformation will better predict short time horizons,\u00a0from one to four months. For longer prediction horizons,\u00a0five months or more, the nonlinear regression\u00a0model will be the best alternative. In general, the regression\u00a0models\u2019 performance will exceed that of the\u00a0autoregressive alternative.<\/em><\/p>\n Keywords:<\/strong> time series, regression models, prediction,\u00a0seasonality and hypothesis testing.<\/em><\/p>\n En t\u00e9rminos estad\u00edsticos, un pron\u00f3stico es la estimaci\u00f3n\u00a0de un valor futuro. Por ejemplo, en climatolog\u00eda\u00a0es de inter\u00e9s predecir la temperatura promedio para los\u00a0pr\u00f3ximos d\u00edas o la precipitaci\u00f3n pluvial, mientras que\u00a0en econom\u00eda, hay una gran cantidad de valores cuyo\u00a0pron\u00f3stico es importante: el crecimiento, la inflaci\u00f3n,\u00a0el \u00edndice de producci\u00f3n industrial, etc\u00e9tera.<\/p>\n Las empresas pueden beneficiarse de un buen pron\u00f3stico\u00a0de varias formas. La estimaci\u00f3n futura del consumo\u00a0de un producto puede, por ejemplo, determinar\u00a0cosas tan importantes como la expansi\u00f3n de una empresa;\u00a0si se espera que sus clientes aumenten en n\u00famero,\u00a0la empresa deber\u00e1 expandirse \u201choy\u201d para satisfacer la\u00a0demanda de \u201cma\u00f1ana\u201d.<\/p>\n Desde un punto de vista estad\u00edstico, para realizar\u00a0un pron\u00f3stico se necesitan dos cosas: datos hist\u00f3ricos\u00a0y un modelo. Por ejemplo, si se desea conocer el consumo\u00a0de un producto para los pr\u00f3ximos doce meses,\u00a0es necesario conocer la demanda hist\u00f3rica del mismo,\u00a0as\u00ed como un modelo que se \u201cajuste bien\u201d a estos datos.\u00a0Dicho modelo puede ser tan simple como una recta, sin\u00a0embargo, si la demanda de este producto es afectada\u00a0por las estaciones del a\u00f1o, el modelo a emplear debe ser\u00a0m\u00e1s sofisticado. Cabe se\u00f1alar que, entre m\u00e1s preciso\u00a0el modelo y m\u00e1s datos hist\u00f3ricos, mejores pron\u00f3sticos.<\/p>\n Los datos son el suministro m\u00e1s importante para un\u00a0pron\u00f3stico. Entre m\u00e1s hay, mejores pron\u00f3sticos se pueden\u00a0esperar. Esto por dos razones:<\/p>\n 1. Los datos \u201csugieren\u201d el modelo que se debe emplear\u00a0para el pron\u00f3stico de los mismos. Cuando\u00a0\u00e9stos son graficados respecto al tiempo, se puede\u00a0deducir si son afectados o no por las estaciones del\u00a0a\u00f1o o por el tiempo mismo o por factores macroecon\u00f3micos\u00a0como la paridad peso\/d\u00f3lar. Entre m\u00e1s\u00a0datos, m\u00e1s certeza habr\u00e1 respecto a esta identificaci\u00f3n.<\/p>\n 2. Los datos sirven para estimar los par\u00e1metros de un\u00a0modelo. Por ejemplo, si se trata de una recta, tanto\u00a0su intercepto como su pendiente se estiman utilizando\u00a0los datos hist\u00f3ricos. Entre m\u00e1s datos, m\u00e1s\u00a0precisa ser\u00e1 su estimaci\u00f3n.<\/p>\n Por lo anterior, cuando hay pocos datos, se dificulta\u00a0obtener un buen pron\u00f3stico; no se recomienda realizar\u00a0proyecciones cuando la informaci\u00f3n es escasa, raz\u00f3n\u00a0por la cual es muy poco lo que se sabe cuando hay que\u00a0predecir en esta situaci\u00f3n.<\/p>\n En este trabajo se investigan los modelos que pueden\u00a0ser utilizados cuando se pronostican series temporales\u00a0con poca informaci\u00f3n (pocos datos hist\u00f3ricos). En\u00a0particular, se compara el desempe\u00f1o de modelos de regresi\u00f3n\u00a0frente a un modelo autorregresivo t\u00edpicamente\u00a0empleado en la bibliograf\u00eda. El caso que se estudia es el\u00a0de series temporales con estacionalidad creciente. Los\u00a0modelos empleados en los cotejos son los mismos que\u00a0emple\u00f3 Madrigal (2014). Se utilizaron 617 series temporales\u00a0para comparar estos modelos.<\/p>\n Los resultados indican que la efectividad de los modelos\u00a0depender\u00e1 del horizonte de pron\u00f3stico. Cuando\u00a0se pronostican de uno a cuatro meses, los modelos con\u00a0transformaci\u00f3n Box-Cox ser\u00e1n superiores. Sin embargo,\u00a0para plazos mayores, la mejor opci\u00f3n predictiva\u00a0ser\u00e1 el modelo de regresi\u00f3n no lineal. En general, los\u00a0modelos de regresi\u00f3n superar\u00e1n a la alternativa autorregresiva.\u00a0Contrastes de hip\u00f3tesis estad\u00edsticas respaldan\u00a0estas afirmaciones.<\/p>\n Marco Te\u00f3rico y experimental<\/strong><\/p>\n Conceptos b\u00e1sicos<\/strong><\/p>\n Formalmente, una serie temporal es una secuencia de\u00a0observaciones cronol\u00f3gicamente ordenadas. Las ventas\u00a0nacionales de veh\u00edculos subcompactos por mes (figura\u00a01) constituyen un ejemplo.<\/p>\n En esta serie se aprecia un crecimiento o decrecimiento\u00a0atribuible a las estaciones (meses del a\u00f1o). Por\u00a0ejemplo, las ventas m\u00e1ximas en cada a\u00f1o son alcanzadas\u00a0en diciembre, mientras que las m\u00ednimas se alcanzan\u00a0en abril. A este patr\u00f3n se le denomina estacionalidad.<\/p>\n Independientemente de las estaciones del a\u00f1o, es\u00a0posible observar que las ventas tuvieron un crecimiento\u00a0constante desde 1995 hasta poco antes de 2005.<\/p>\n Este incremento sostenido a trav\u00e9s del tiempo se\u00a0denomina tendencia lineal. Observando toda la serie,\u00a0se aprecia que \u00e9sta en general muestra una tendencia no\u00a0lineal, pues no crece (o decrece) de manera constante\u00a0todo el tiempo.<\/p>\n Note que las amplitudes de los ciclos estacionales\u00a0no son constantes, sino que crecen (o decrecen) de manera\u00a0proporcional a la tendencia; entre m\u00e1s altas las\u00a0ventas, mayor es la diferencia entre los meses de abril\u00a0y diciembre de cada a\u00f1o. Este patr\u00f3n se denomina estacionalidad\u00a0creciente.<\/p>\n El prop\u00f3sito del presente trabajo es comparar el\u00a0desempe\u00f1o de tres modelos para el pron\u00f3stico de series\u00a0temporales con tendencia no lineal y estacionalidad\u00a0creciente, cuando hay muy pocos datos hist\u00f3ricos (catorce\u00a0meses). En la figura 2 se muestra un ejemplo: las\u00a0ventas de veh\u00edculos subcompactos, pero esta vez, hasta\u00a0febrero de 1996.<\/p>\n Observe que en esta fecha, resulta mucho m\u00e1s dif\u00edcil distinguir patrones de la serie, como la estacionalidad\u00a0creciente. A continuaci\u00f3n se discuten los modelos\u00a0que podr\u00edan ser empleados para la predicci\u00f3n de este\u00a0tipo de series.<\/p>\n Modelos para series temporales con\u00a0estacionalidad creciente<\/strong><\/p>\n Sea yt para t = 1, \u2026, n una serie temporal con m estaciones\u00a0por periodo (meses por a\u00f1o [m = 12]). El \u00edndice\u00a0t representa el tiempo o las etapas de la serie. Los modelos\u00a0por comparar son:<\/p>\n 1. El modelo de regresi\u00f3n lineal con transformaci\u00f3n\u00a0Box-Cox (MRLBC):<\/p>\n donde BC (yt<\/sub> , \u03bb), representa la transformaci\u00f3n BoxCox\u00a0de la serie (Box, Jenkins y Reinsell, 2008); \u03bb es la\u00a0potencia de la transformaci\u00f3n. Los par\u00e1metros asociados\u00a0a la tendencia son \u03b1i\u00a0para i = 1,…,d; d es el grado\u00a0del polinomio para modelar la tendencia; \u03b2s<\/sub> son los par\u00e1metros\u00a0asociados a las estaciones. La variable dicot\u00f3mica Ds,t<\/sub> toma el valor uno si la estaci\u00f3n s (s = 1, …, m)\u00a0ocurre en la etapa t o cero de otro modo. Finalmente, \u03bct<\/sub>\u00a0es un proceso autorregresivo de orden p, \u03bct<\/sub> = \u03c61 \u03bct\u22121<\/sub>\u00a0+ \u03c62 \u03bct\u22122<\/sub>\u00a0+ … + \u03c6p<\/sub> \u03bct\u2212p<\/sub> + \u03b5t<\/sub>\u00a0, donde \u03b5t<\/sub> es un proceso de\u00a0variables aleatorias independientes, normalmente distribuidas,\u00a0con media cero y varianza finita y constante.<\/p>\n 2. El modelo de regresi\u00f3n no lineal (MRNL):<\/p>\n 3. Los par\u00e1metros asociados a la tendencia son yi<\/sub>.<\/p>\n donde\u00a0\u22061<\/sub>\u00a0yt\u00a0= yt<\/sub> \u2212 yt<\/sub> \u22121 y \u2206m<\/sub> yt<\/sub> = yt<\/sub> \u2212 yt\u2212m<\/sub>, remueven la\u00a0tendencia y la estacionalidad de la serie, respectivamente.<\/p>\n Dise\u00f1o experimental<\/strong><\/p>\n \u00bfCu\u00e1l es el modelo que mejor pronostica series como\u00a0la de la figura 2? Para contestar este interrogante, se\u00a0emplean 617 series mensuales tomadas de la M Competition\u00a0(Makridakis et al., 1982). \u00c9stas son \u201crecortadas\u201d\u00a0para simular informaci\u00f3n escasa. Los modelos son\u00a0estimados utilizando \u00fanicamente las primeras catorce\u00a0observaciones de cada serie y se pronostican los pr\u00f3ximos\u00a018 meses.<\/p>\n Para cada horizonte de pron\u00f3stico, se obtiene una\u00a0medida de error denominada desviaci\u00f3n porcentual absoluta\u00a0(DPA), definida de la siguiente manera:<\/p>\n donde Para cada h y para cada modelo, el promedio del\u00a0estad\u00edstico DPAh sobre las 617 series es acomodado en\u00a0un cuadro cuyas columnas corresponden a los modelos.\u00a0Para determinar si las diferencias entre \u00e9stos son significativas,\u00a0se utiliza la prueba ANOVA de dos factores;\u00a0el otro factor son los horizontes de pron\u00f3stico (renglones)\u00a0y se supone que influyen en el resultado.<\/p>\n Una vez que se determina que las diferencias entre\u00a0los modelos no se deben al azar, es necesario comparar\u00a0cada par de modelos para saber cu\u00e1l o cu\u00e1les son\u00a0significativamente diferentes. Para realizar estas comparaciones\u00a0se utiliza la prueba de Tukey (Miller, 1981;\u00a0Yandell, 1997). Todo fue hecho utilizando GNU R (R\u00a0Core Team, 2016), un programa de an\u00e1lisis estad\u00edstico\u00a0100% gratuito y de c\u00f3digo abierto (Hyndman, 2012).\u00a0El nivel de significaci\u00f3n utilizado durante las pruebas\u00a0es \u03b1 = 0.05. Debido a la escasez de informaci\u00f3n, se supuso\u00a0que \u03bct<\/sub>\u00a0= \u03b5t<\/sub>.<\/p>\n Resultados<\/strong><\/p>\n En la tabla I se muestran, para cada valor de h y para\u00a0cada modelo, los resultados del estad\u00edstico DPA promediados\u00a0sobre las 617 series. En la figura 3 se muestra\u00a0gr\u00e1ficamente esta informaci\u00f3n.<\/p>\n Figura 3. Representaci\u00f3n gr\u00e1fica de la tabla I.<\/p><\/div>\n Las medias de las columnas de la tabla I son\u00a0MRLBC = 24.99, MRNL = 18.91 y MEABC = 26.8.\u00a0Al aplicar la prueba ANOVA, aislando el efecto de los\u00a0renglones, se obtiene un p\u2013valor de 0.0000714, por lo\u00a0que se concluye que los modelos son significativamente\u00a0diferentes. La prueba de Tukey encuentra diferencias\u00a0significativas entre el MRNL y los modelos MRLBC y\u00a0MEABC con p-valores de 0.0019879 y 0.0000830, respectivamente.\u00a0No hubo diferencias significativas entre\u00a0los \u00faltimos dos modelos mencionados.<\/p>\n Discusi\u00f3n<\/strong><\/p>\n La prueba ANOVA concluye lo que parec\u00eda evidente:\u00a0los modelos son estad\u00edsticamente diferentes. Esto conduce\u00a0a las comparaciones de Tukey para cada par de\u00a0modelos. Puesto que la media del MRNL es inferior\u00a0a la de los otros dos, se concluye que \u00e9ste es el mejor\u00a0modelo cuando hay escasa informaci\u00f3n. Sin embargo,\u00a0aunque esto se cumpla para los dieciocho meses pronosticados,\u00a0no se cumple para los primeros cuatro, en\u00a0los que es evidente seg\u00fan la figura 3, que los modelos\u00a0con transformaci\u00f3n Box-Cox, y en especial el MRLBC,\u00a0mostrar\u00e1n un desempe\u00f1o superior. Las medias de los\u00a0modelos de regresi\u00f3n son menores a las del modelo autorregresivo.\u00a0Esto \u00edndica que los modelos de regresi\u00f3n\u00a0son mejores, aunque s\u00f3lo uno de ellos lo es de manera\u00a0significativa.<\/p>\n Conclusiones<\/strong><\/p>\n Se pronosticaron 617 series temporales estacionales\u00a0con escasa informaci\u00f3n. Se utilizaron tres modelos,\u00a0dos de regresi\u00f3n y uno autorregresivo. Se emplearon\u00a0contrastes de hip\u00f3tesis estad\u00edsticas para detectar diferencias\u00a0significativas en el desempe\u00f1o predictivo de los\u00a0modelos.<\/p>\n Los resultados son contundentes: el MRNL ofrecer\u00e1,\u00a0en promedio, el mejor desempe\u00f1o de pron\u00f3stico\u00a0para horizontes entre uno y dieciocho meses. Sin embargo,\u00a0para periodos inmediatos de pron\u00f3stico, que\u00a0comprenden entre uno y cuatro meses, los modelos con\u00a0transformaci\u00f3n Box-Cox, en especial el MRLBC, ofrecer\u00e1n\u00a0un mejor desempe\u00f1o.<\/p>\n En general, el desempe\u00f1o de los modelos de regresi\u00f3n\u00a0parece superar al del modelo autorregresivo cuando\u00a0hay poca informaci\u00f3n. \u00c9ste es un resultado que no\u00a0hab\u00eda sido reportado antes y sienta un precedente favorable\u00a0para estos modelos.<\/p>\n Se recomienda, a quienes deben pronosticar series\u00a0temporales estacionales con pocos datos, seguir estas\u00a0recomendaciones para minimizar los errores en sus proyecciones\u00a0y, de esta manera, tomar mejores decisiones.<\/p>\n * Universidad Aut\u00f3noma de Nuevo Le\u00f3n<\/p>\n Referencias<\/strong><\/p>\n Box, G.E.P., Jenkins, G.M., y Reinsell, G.C. (2008).\u00a0Time series analysis: Forecasting and Control.\u00a0EE.UU.:WILEY.<\/p>\n Hyndman, R.J. (2012). Mcomp: Data from the M-competitions,\u00a0Disponible en: http:\/\/CRAN.R-project.org\/package=Mcomp. R package version 2.04<\/p>\n Madrigal E., S.D. (2014). Modelos de regresi\u00f3n para\u00a0el pron\u00f3stico de series temporales con estacionalidad\u00a0creciente. Computaci\u00f3n y Sistemas, 18(4):821\u2013831,\u00a012 doi: 0.13053\/CyS-18-4-1552. URL http: \/\/dx.doi.org\/0.13053\/CyS-18-4-1552.<\/p>\n Makridakis, A.S., et al. (1982). The accuracy of extrapolation\u00a0(time series) methods: Results of a forecasting\u00a0competition. Journal of Forecasting, 1(2):111-153.<\/p>\n Miller, R.G. (1981). Simultaneous Statistical Inference.\u00a0Nueva York: Springer\/Verlag.<\/p>\n R Core Team. (2016). R: A Language and Environment\u00a0for Statistical Computing. R Foundation for Statistical\u00a0Computing, Vienna, Austria. Disponible en: https:\/\/www.r-project.org\/<\/p>\n Yandell, B.S. (1997). Practical Data Analysis for Designed\u00a0Experiments. Florida:Chapman & Hall.<\/p>\n Recibido: 04\/07\/2016 <\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Sergio David Madrigal Espinoza* CIENCIA UANL \/ A\u00d1O 20, No. 86 octubre-diciembre 2017 Resumen Se investiga el desempe\u00f1o de tres modelos para el pron\u00f3stico\u00a0de series temporales con estacionalidad creciente\u00a0y pocos datos. Dos de ellos son regresiones (una\u00a0lineal con transformaci\u00f3n Box-Cox y la otra no lineal).\u00a0Estos modelos son comparados contra una alternativa\u00a0autorregresiva con transformaci\u00f3n Box-Cox. 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14+h<\/sub> representa el pron\u00f3stico realizado en el\u00a0tiempo t = 14 para h etapas adelante, mientras que y14+h<\/sub> representa el dato real del conjunto de prueba.<\/p>\n![\"\"](\"http:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/wp-content\/uploads\/2018\/01\/tabla_I_resultados_estadistico_DPA.jpg\")
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\nAceptado: 03\/07\/2017<\/p>\n