{"id":7024,"date":"2017-11-15T16:24:30","date_gmt":"2017-11-15T22:24:30","guid":{"rendered":"http:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/?p=7024"},"modified":"2017-11-15T16:24:30","modified_gmt":"2017-11-15T22:24:30","slug":"el-poder-predictivo-de-la-teoria-de-la-relatividad-general","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/?p=7024","title":{"rendered":"El poder predictivo de la Teor\u00eda de la Relatividad General"},"content":{"rendered":"

\"\"<\/p>\n

Hernando Quevedo*<\/p>\n

CIENCIA UANL \/ A\u00d1O 20, No. 85, julio-septiembre 2017<\/p>\n

Hace m\u00e1s de 100 a\u00f1os que en su Relatividad General,\u00a0Einstein incluy\u00f3 el vers\u00e1til concepto de espaciotiempo\u00a0con cuatro dimensiones. Para introducir en \u00e9l la geometr\u00eda diferencial se parte del concepto de distancia.\u00a0Tomemos un evento arbitrario x\u03bc que denotaremos\u00a0mediante sus cuatro coordenadas x\u03bc=(x1,x2,x3,x4 ). Empleamos aqu\u00ed la notaci\u00f3n x1,x2, etc., en lugar de las coordenadas cartesianas, para enfatizar el hecho de que se trata de coordenadas de sistemas no inerciales, en general. Consideremos un segundo evento con coordenadas\u00a0x\u03bc+dx\u03bc, donde x\u03bc<<dx\u03bc, es decir, el segundo evento\u00a0se encuentra muy cerca del primero. En la Figura 1 se ilustra esta situaci\u00f3n, donde el espaciotiempo est\u00e1 representado esquem\u00e1ticamente como una superficie curva bidimensional.<\/p>\n

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Figura 1. Dos eventos en el espaciotiempo separados por una distancia
infinitesimal.<\/p><\/div>\n

En geometr\u00eda diferencial, la distancia o elemento de l\u00ednea ds2<\/sup> entre los dos eventos definidos anteriormente se define como<\/p>\n

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(1)<\/p><\/div>\n

donde g\u03bc\u03bd<\/sub> es una matriz sim\u00e9trica 4×4 que depende de cada espaciotiempo en particular. En geometr\u00eda diferencial\u00a0esta matriz lleva el nombre de m\u00e9trica. En calidad\u00a0de ejemplo, consideremos el elemento de l\u00ednea del espaciotiempo de Minkowski, el cual es usado en relatividad especial y corresponde a la convenci\u00f3n x\u03bc=(ct,x,y,z),<\/p>\n

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(2)<\/p><\/div>\n

Se puede concluir inmediatamente que la m\u00e9trica de Minkowski es diagonal y tiene la forma<\/p>\n

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(3)<\/p><\/div>\n

Para un espaciotiempo arbitrario las componentes de la m\u00e9trica en general son funciones de las coordenadas.\u00a0En geometr\u00eda diferencial, con el tipo que se utiliza en relatividad general se puede demostrar que toda la informaci\u00f3n geom\u00e9trica del espaciotiempo se encuentra\u00a0codificada en la m\u00e9trica.<\/p>\n

Una magnitud muy importante de cualquier espaciotiempo\u00a0que se deriva de la m\u00e9trica es la curvatura o, siendo m\u00e1s exactos, el tensor de curvatura de Riemann. Se puede demostrar que la curvatura depende de las primeras\u00a0y segundas derivadas de la m\u00e9trica con respecto a las coordenadas. Veamos el caso sencillo de la m\u00e9trica\u00a0de Minkowski (3). Puesto que todas las componentes de la m\u00e9trica son constantes, sus primeras y segundas derivadas son cero y, por lo mismo, se puede demostrar\u00a0que la curvatura es cero. Decimos entonces que el espaciotiempo de Minkowski es plano. De hecho, se puede demostrar que el \u00fanico espaciotiempo plano es el de Minkowski, teniendo como consecuencia que la relatividad especial corresponde a una geometr\u00eda plana.<\/p>\n

En el caso de relatividad general, como ya mencionamos,\u00a0la m\u00e9trica depende de las coordenadas y por\u00a0lo tanto sus derivadas son diferentes de cero y pueden llevar a curvaturas diferentes de cero. De hecho, se puede\u00a0demostrar que cuando la curvatura es diferente de cero, el espaciotiempo correspondiente forma parte de la relatividad general y puede llegar a tener un sentido f\u00edsico espec\u00edfico.<\/p>\n

Por otra parte, vimos que de acuerdo al principio de equivalencia d\u00e9bil no es posible distinguir locamente entre un sistema de referencia acelerado y un campo gravitacional. Esto llev\u00f3 a Einstein a conjeturar uno de los conceptos m\u00e1s importantes de f\u00edsica te\u00f3rica, a saber:<\/p>\n

Curvatura del espaciotiempo \u2261\u00a0fuerza gravitacional<\/em><\/p>\n

El signo de equivalencia significa que para conocer la fuerza gravitacional es suficiente con medir la curvatura\u00a0del espaciotiempo y viceversa. Por ende, si un espaciotiempo es curvo, existe un campo gravitacional que genera la curvatura.<\/p>\n

Para determinar en cada caso concreto la relaci\u00f3 entre la curvatura del espaciotiempo y el campo gravitacional\u00a0correspondiente, se utilizan las ecuaciones de Einstein que se escriben de la siguiente manera:<\/p>\n

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(4)<\/p><\/div>\n

Aqu\u00ed G\u03bc\u03bd<\/sub> es el tensor de Einstein que depende de la m\u00e9trica g\u03bc\u03bd<\/sub> y de sus primeras y segundas derivadas con respecto a las coordenadas del espaciotiempo. El tensor de Einstein contiene solamente magnitudes geom\u00e9tricas\u00a0y su c\u00e1lculo expl\u00edcito se obtiene a partir de la curvatura\u00a0del espaciotiempo. La parte derecha de las ecuaciones\u00a0(4) contiene el tensor de energ\u00eda-momento T\u03bc\u03bd<\/sub> que depende directamente de magnitudes f\u00edsicas como la masa, presi\u00f3n, volumen, etc. Consecuentemente, las ecuaciones de Einstein tienen un sentido f\u00edsico muy profundo ya que se pueden interpretar conceptualmente\u00a0como<\/p>\n

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(5)<\/p><\/div>\n

La constante de proporcionalidad \"\"\u00a0contiene la velocidad de la luz en el vac\u00edo c y la constante gravitacional\u00a0de Newton G, de forma tal que nos permite relacionar la magnitud geom\u00e9trica curvatura con magnitudes\u00a0f\u00edsicas como la energ\u00eda, presi\u00f3n, etc. Esta equivalencia\u00a0entre magnitudes geom\u00e9tricas fue propuesta por primera vez por Einstein para el campo gravitacional,\u00a0pero hoy en d\u00eda sabemos que es v\u00e1lida para todos los dem\u00e1s campos conocidos en la naturaleza.<\/p>\n

T\u00e9cnicamente, las ecuaciones de Einstein (4) corresponden
\na diez ecuaciones diferenciales de segundo orden para la m\u00e9trica g\u03bc\u03bd. En principio, cada una de sus soluciones deber\u00eda describir el campo gravitacional de alguna distribuci\u00f3n de masa descrita por alg\u00fan tensor energ\u00eda-momento T\u03bc\u03bd. Hoy se conocen muchas soluciones
\nexactas a estas ecuaciones, pero no a todas se les ha podido encontrar su sentido f\u00edsico. Veamos unos pocos ejemplos de importancia.<\/p>\n

Supongamos que nos encontramos en el cosmos a cierta distancia r del centro de la Tierra y asumimos esta \u00faltima como una esfera sin rotaci\u00f3n. Si nos preguntamos\u00a0cu\u00e1l es la m\u00e9trica que describe el campo gravitacional\u00a0en ese punto, las ecuaciones de Einstein proporcionan\u00a0la respuesta en forma del elemento de l\u00ednea de Schwarzschild:<\/p>\n

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(6)<\/p><\/div>\n

en coordenadas esf\u00e9ricas x\u03bc<\/sub>=(t,r,\u03d1,\u03c6).<\/p>\n

En esta m\u00e9trica aparece el par\u00e1metro m que es el valor de la masa de la Tierra. Los experimentos indican que esta m\u00e9trica describe con buena exactitud el campo gravitacional de la Tierra fuera de su atm\u00f3sfera. Con esta m\u00e9trica se pueden a su vez determinar las trayectorias\u00a0de objetos peque\u00f1os como sat\u00e9lites artificiales alrededor de la Tierra. Las predicciones de la teor\u00eda de la relatividad concuerdan muy bien con los datos observacionales.<\/p>\n

Otro ejemplo de soluci\u00f3n a las ecuaciones de Einstein\u00a0est\u00e1 dado mediante el elemento de l\u00ednea de Friedmann-Lemaitre-Robertson-Walker que se puede representar\u00a0en coordenadas esf\u00e9ricas como<\/p>\n

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(7)<\/p><\/div>\n

donde la funci\u00f3n a(t) debe satisfacer las ecuaciones de Einstein que en este caso se reducen a:<\/p>\n

\"\"

(8) y (9)<\/p><\/div>\n

donde \u03f1=\u03f1(t) es la densidad de energ\u00eda y p=p(t) es la presi\u00f3n. Si ahora asumimos que nuestro universo se puede describir como un fluido de energ\u00eda \u03f1(t) y presi\u00f3n p(t), magnitudes f\u00edsicas que podemos determinar con base en las observaciones cosmol\u00f3gicas, la teor\u00eda de Einstein predice que la m\u00e9trica (25) junto con las ecuaciones (26) y (27) describen la evoluci\u00f3n del Universo.\u00a0Las observaciones muestran que esta predicci\u00f3n es correcta.<\/p>\n

Otra soluci\u00f3n a las ecuaciones de Einstein predice la existencia de ondas gravitacionales a trav\u00e9s de una m\u00e9trica que es un tanto m\u00e1s compleja para ser incluida en esta breve descripci\u00f3n. La existencia de estas ondas fue corroborada apenas en 2015, m\u00e1s de cien a\u00f1os despu\u00e9s\u00a0de su predicci\u00f3n.<\/p>\n

Los ejemplos mencionados anteriormente muestran la gran capacidad de predicci\u00f3n que tiene la relatividad general como una teor\u00eda que describe el campo gravitacional.\u00a0A\u00fan existen muchos problemas por resolver en la teor\u00eda de la relatividad y es por eso que en la mayor\u00eda\u00a0de las grandes universidades del mundo se llevan a cabo investigaciones de \u00edndole te\u00f3rica y experimental.<\/p>\n

A los lectores interesados en profundizar sus conocimientos\u00a0de la teor\u00eda de la relatividad a nivel conceptual\u00a0y t\u00e9cnico se les recomiendan los libros de texto incluidos en las referencias.<\/p>\n

\"\"

Figura 2. El anillo de Einstein. Imagen generada por computadora a partir de distorsiones causadas por un hoyo negro esf\u00e9ricamente sim\u00e9trico y sin carga (Alain Riazuelo, IAP\/UPMC\/CNRS, http:\/\/www2.iap.fr\/users\/riazuelo\/bh\/APOD.php).<\/p><\/div>\n

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*Universidad Nacional Aut\u00f3noma de M\u00e9xico<\/p>\n

Contacto: quevedo@nucleares.unam.mx<\/p>\n

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Referencias<\/strong><\/p>\n

Misner, C., Thorne, K., y Wheeler, J. (1973). Gravitation.\u00a0W. H. Freeman and Company, USA.<\/p>\n

Schutz B. (2009). A first course in general relativity Cambridge University Press, UK.<\/p>\n

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