{"id":13527,"date":"2024-06-19T13:02:12","date_gmt":"2024-06-19T19:02:12","guid":{"rendered":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/?p=13527"},"modified":"2024-11-01T09:38:52","modified_gmt":"2024-11-01T15:38:52","slug":"solucion-de-la-ecuacion-algebraica-de-riccati","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/?p=13527","title":{"rendered":"Soluci\u00f3n de la ecuaci\u00f3n algebraica de Riccati"},"content":{"rendered":"
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Mari\u0301a Aracelia Alcorta-Garci\u0301a*\u00a0ORCID: 0000-0002-9079-27
\n<\/span>Juan Carlos Herna\u0301ndez-Medelli\u0301n*\u00a0<\/span>ORCID: 0000-0002-5191-9514<\/span><\/p>\n

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CIENCIA UANL \/ AN\u0303O 27, No.127, septiembre-octubre 2024<\/p>\n

DOI: https:\/\/doi.org\/10.29105\/cienciauanl27.127-5<\/a><\/p>\n

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Descargar PDF<\/a><\/p>\n

RESUMEN<\/h4>\n
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En este trabajo se obtiene un conjunto de soluciones para la ecuacio\u0301n algebraica de Riccati (ARE), la cual es expresada en te\u0301rminos de los coeficientes de la ecuacio\u0301n original sin necesidad de conocer una de las soluciones para, a partir de e\u0301sta, obtener la segunda, como se hace en el caso de la ecuacio\u0301n de Bernoulli. Las soluciones son obtenidas partiendo de una matriz sime\u0301trica S por bloques, formada con los coeficientes de la ARE. Las soluciones de la ARE son obtenidas partiendo del ca\u0301lculo de los valores propios de S y aplicando los principios de ortogonalidad en una base de un mo\u0301dulo sobre el anillo \"\"<\/a>. Este procedimiento supone condiciones de simetri\u0301a en los coeficientes de la ARE y se considera que la diagonalizacio\u0301n de la matriz por bloques S siempre es posible. La metodologi\u0301a propuesta se muestra en dos ejemplos.<\/p>\n

Palabras clave: ecuacio\u0301n algebraica de Riccati, matriz por bloques, valores propios, vectores propios, diagonalizacio\u0301n.<\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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ABSTRACT<\/h4>\n

In this work, a set of solutions for the algebraic Riccati equation (ARE) is obtained, which is expressed in terms of the coefficients of the original equation without the need to know one of the solutions in order to obtain the second one, as it is done in the case or fthe Bernoulli equation. The solutions are obtained starting from a symmetric matrix S, by blocks, formed with the coefficients of the ARE. The solutions of the ARE are obtained by calculating the eigenvalues of S and applying the principles of orthogonality on the basis of a module over the ringR_(nxn). This procedure assumes symmetry conditions in the coefficients fo the ARE, and it is considered that the diagonalization of the block matrix S is always possible. Two examples are presented illustrating the proposed methodology.<\/em><\/p>\n

Keywords: Algebraic Riccati equation, block matrix, eigenvalues, eigenvectors, diagonalization<\/em><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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La ecuacio\u0301n diferencial ordinaria dada por<\/p>\n

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\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

donde P<\/em>, Q<\/em> y R<\/em> son matrices cuyos elementos pueden ser funciones de x (o constantes), es llamada ecuacio\u0301n diferencial ordinaria de Riccati (EDOR), en honor al matema\u0301tico italiano Jacopo Francesco Riccati, nacido en Venecia, Repu\u0301blica de Venecia, el 28 de mayo de 1676, y fallecio\u0301 en Treviso, Italia, el 15 de abril de 1754.<\/span><\/p>\n

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J.F. Riccati llego\u0301 a esta ecuacio\u0301n al analizar la hidrodina\u0301mica. En 1724 publico\u0301 una investigacio\u0301n multilateral de la ecuacio\u0301n, llamada, por iniciativa de D’Alembert (1769): Ecuacio\u0301n de Riccati. Algunos contempora\u0301neos la analizaron, entre ellos Gottfried Wilhelm von Leibniz, matema\u0301tico y filo\u0301sofo alema\u0301n; Christian Goldbach, matema\u0301tico originario de Kaliningrado, Rusia; Johann Bernoulli, matema\u0301tico, me\u0301dico y filo\u0301logo suizo, y sus hijos Nicola\u0301s y Daniel Bernoulli y, posteriormente, el matema\u0301tico y fi\u0301sico suizo Leonhard Euler. Su trabajo se limito\u0301 al ana\u0301lisis de casos particulares de la ecuacio\u0301n.<\/p>\n

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Siendo e\u0301sta planteada y analizada en la forma que conocemos en los libros de texto (Dennis, 2012; Boyce, 2012) por la familia Bernoulli.<\/p>\n

En algunas de las investigaciones se planteo\u0301 la ecuacio\u0301n especial de Riccati, que si\u0301 posee solucio\u0301n en te\u0301rminos finitos en un nu\u0301mero limitado de casos, para lo cual se requiere conocer una de las soluciones. Algunos trabajos han presentado soluciones de la ARE (Zoran, 2017), los autores usan un me\u0301todo recursivo de reduccio\u0301n de orden. Ai-Guo Wu, Hui-Jie Sun y Ying Zhang (2020) plantean la solucio\u0301n utilizando dos me\u0301todos de iteraciones.<\/p>\n

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La solucio\u0301n con restricciones ma\u0301s especi\u0301ficas, cuando se trata de un sistema hermitiano estabilizable, se puede ver en Zhang et al<\/em>. (2024). La solucio\u0301n de la ecuacio\u0301n de Riccati no sime\u0301trica es planteada por Akbar Shirilord y Mehdi Dehghan (2022). La ecuacio\u0301n de Riccati parametrizada es presentada en Rojas (2021). Nguyen y Gajic (2010) presentan una solucio\u0301n de la ecuacio\u0301n diferencial matricial de Riccati, en este trabajo los autores emplean la solucio\u0301n definida antiestabilizante de la ARE y la solucio\u0301n de la ecuacio\u0301n diferencial matricial de Lyapunov. Hench et al<\/em>. (1998) resuelven una ARE amortiguada y una ecuacio\u0301n degenerada de Riccati obtenida partiendo del problema de los controladores amortiguados.<\/p>\n

Carpanese (2000) obtiene una solucio\u0301n de la ecuacio\u0301n en diferencias de Riccati (caso discreto). Adam (2000) verifica la continuidad de la solucio\u0301n de la ecuacio\u0301n diferencial de Riccati (EDR) y la ARE en el caso continuo en el tiempo. Un algoritmo para la solucio\u0301n de sistemas no triviales acoplados de ARE que aparecen en el problema de control Risk-sensitive es presentado por Freiling, Lee y Jank (1998), quienes usan me\u0301todos de comparacio\u0301n al obtener condiciones adecuadas de acotacio\u0301n en las soluciones de un problema de valor terminal en los sistemas de EDR acoplados.<\/p>\n

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Barabanov y Ortega (2004) presentan extensiones ocultas del lema Kalman-Yakubovich-Po- pov, referente a las condiciones de la solucio\u0301n en la matriz Lur\u2019e-Riccati. Con Jime\u0301nez (2015) la EDR se resuelve en una ecuacio\u0301n diferencial de segundo orden, reducie\u0301ndola a una ecuacio\u0301n de Riccati, siempre y cuando los coeficientes en la ecuacio\u0301n diferencial este\u0301n relacionados de una forma especi\u0301fica, resolviendo posteriormente la ecuacio\u0301n de Riccati sin requerir el conocimiento de una de las soluciones. Una aproximacio\u0301n eficiente en la reso- lucio\u0301n de la EDR usando derivadas de orden fraccional se presenta en Alam, Ara y Jamil (2011). Cai, Ding y Li (2017) presentan una aplicacio\u0301n de la ecuacio\u0301n de Riccati en el problema de estimacio\u0301n. La continuidad de la solucio\u0301n de la ecuacio\u0301n de Riccati es presentada por Adam (2000).<\/p>\n

El objetivo de este trabajo es establecer una metodologi\u0301a que facilite la obtencio\u0301n de la solucio\u0301n de la ARE, sin necesidad de conocer una de las soluciones, considerando los puntos de equilibrio propios del sistema.<\/p>\n

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Por otro lado, como una aplicacio\u0301n importante, por su participacio\u0301n en el problema de control (donde toma el rol de ecuacio\u0301n de ganancia del control) y programacio\u0301n dina\u0301mica (asi\u0301 se puede ver en Reid (1972), Petkov y Konstantinov (1991), Nguyen y Gajic (2010), entre otras publicaciones), retoma importancia el ca\u0301lculo de los puntos de equilibrio de la misma y su solucio\u0301n, encontra\u0301ndola asinto\u0301ticamente estable en los puntos de equilibrio de la misma, logrando asi\u0301 un control eficiente.<\/p>\n

Entre las propiedades de la EDOR que facilitan la existencia y obtencio\u0301n de las ecuaciones de control se encuentran la existencia de solucio\u0301n u\u0301nica para condiciones iniciales dadas y condicionando a que la EDOR sea definida positiva se llega al ajuste de la ecuacio\u0301n de control. El trabajo es organizado en la siguiente forma: seccio\u0301n 2 se\u00a0presenta el planteamiento del problema, en la seccio\u0301n 3 se encuentra la solucio\u0301n de la ARE, y en la seccio\u0301n 4 se presentan dos ejemplos.<\/span><\/p>\n

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PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMA<\/h4>\n
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La EDR matricial en tiempo continuo, con soluci\u00f3n \"\"<\/a>\u00a0esta\u0301 dada por<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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donde A<\/em>, B<\/em>, \"\"<\/a>\u00a0son matrices invariables en el tiempo, A<\/em> y C<\/em> son matrices sim\u00e9tricas. Los puntos de equilibrio para la EDR (1), son las soluciones de la ARE, que toma la forma:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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donde \"\"<\/a><\/p>\n

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Partiendo de la ARE (2), se forma la matriz a bloques sime\u0301trica (Jime\u0301nez, 2015) de dimensio\u0301n 2nX2n, S<\/em>:\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Entonces la ARE (2) se puede representar de la siguiente manera:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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Donde \"\"<\/a>es la matriz identidad n\u00d7n<\/em>.<\/span><\/p>\n

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Dado que S<\/em> es sim\u00e9trica, es diagonalizable ortogonalmente en R<\/em>, esto implica que existe una matriz \"\"<\/a>ortogonal y una matriz \"\"<\/a>diagonal tal que S<\/em>= QDQ\u03c4<\/em>, como lo plantea Jime\u0301nez (2015). Las matrices Q<\/em> y D<\/em> pueden ser separadas en bloques taman\u0303o n\u00d7n<\/em> en la siguiente forma:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Dado que D<\/em> es diagonal, entonces D1<\/em> y D2<\/em> tambie\u0301n lo son. Tomando en cuenta lo anterior es establecido el siguiente lema.<\/p>\n

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Lema 1<\/h4>\n
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Sean \"\"<\/a>tales que \"\"\u00a0<\/a>Donde\u00a0\"\"<\/a>son matrices de dimensi\u00f3n 2nx2n<\/em>.<\/span><\/p>\n

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Entonces, las siguientes igualdades se cumplen<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Demosatracio\u0301n<\/h4>\n
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Partiendo de la definicio\u0301n de \"\"<\/a><\/p>\n

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De la diagonalizacio\u0301n de S,D = Q\u03c4SQ.<\/em>\"\"<\/a><\/p>\n

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Entonces<\/p>\n

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Los resultados se obtienen de la igualdad de matrices anterior.<\/p>\n

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El lema 1 establece una estructura para matrices de dimensio\u0301n 2n\u00d7n<\/em> similar en los vectores<\/p>\n

22 conjugados en R\u00b2<\/em>. Los vectores conjugados en R\u00b2<\/em>\u00a0son linealmente independientes y adema\u0301s forman\u00a0una base de R\u00b2<\/em>. Sin embargo, en esta estructura,\u00a0la \u201cindependencia lineal\u201d tiene adema\u0301s las caracteri\u0301sticas dadas por la estructura de mo\u0301dulo sobre un anillo, lo cual se explica en el lema 2.<\/p>\n

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Lema 2. Estructura de mo\u0301dulo<\/h4>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

Sean \"\" <\/a>definidos como en el lema 1, \u00e9stos forman una base en \"\" <\/a>en una especie de m\u00f3dulo derecho sobre el anillo de matrices \"\"<\/a>.<\/p>\n

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Esto implica:<\/p>\n

i. Para cada \"\" <\/a>existen \"\"<\/a>\u00a0tales que<\/span>\u00a0\"\"<\/a>\u00a0<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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ii. \"\"<\/a> \"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Demostracio\u0301n<\/h4>\n
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i. Considere el producto\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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El cual siempre existe ya que Q<\/em> es ortogonal.<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Si \"\"<\/a>que siempre existe, se\u00a0<\/span>llega al resultado i<\/em>.<\/span><\/p>\n

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ii. La demostraci\u00f3n de la suficiencia es trivial. Al\u00a0probar la necesidad, considere \"\"<\/a>y sustituyendo las expresiones para \"\"<\/a>de la demostraci\u00f3n de la parte i,\u00a0<\/em>se llega a ii.<\/em><\/p>\n

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Partiendo de lo planteado en el lema 2, toda matriz 2n\u00d7n<\/em> puede ser escrita como una combinacio\u0301n mo\u0301dulo de \"\"<\/a>.\u00a0Esta matriz incluye la solucio\u0301n matricial de la ARE (2).<\/span><\/p>\n

SOLUCI\u00d3N DE LA ARE<\/h4>\n
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Adema\u0301s existen \"\"<\/a><\/span>\u00a0tales que\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Sustituyendo en (3), se obtiene:\"\"<\/a><\/p>\n

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Haciendo las operaciones se llega a<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

Usando el lema 1, la expresi\u00f3n anterior se simplifica a:\u00a0\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n

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Esta ecuacio\u0301n puede ser escrita como\"\"<\/a><\/p>\n

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Para satisfacer esta ecuacio\u0301n, son necesarias las siguientes definiciones.<\/p>\n

Definici\u00f3n 1. Ra\u00edz cuadrada de una matriz sim\u00e9trica<\/h4>\n
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Dada una matriz sime\u0301trica \"\"<\/a> su rai\u0301z cuadrada es aluna matriz \"\"<\/a>tal que \"\"<\/a>\u00a0\u00c9sta es denotada por \"\"<\/a><\/span><\/p>\n

Definici\u00f3n 2. Ra\u00edz cuadrada principal<\/h4>\n
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Dada una matriz diagonal \"\"<\/a>\"\"<\/a>con entradas no negativas, su ra\u00edz cuadrada principal es \"\"<\/a> donde los elementos de su diagonal son la ra\u00edz cuadrada de los elementos de la matriz D<\/em>.<\/p>\n

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Proposicio\u0301n 1<\/h4>\n
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La rai\u0301z cuadrada de una matriz no es u\u0301nica. Si B\u00a0<\/em>es una rai\u0301z cuadrada de <\/span>A<\/em>, entonces <\/span>UB<\/em>, donde <\/span>\"\"<\/a>\u00a0es ortogonal, es\u00a0<\/span>adem\u00e1s<\/span>\u00a0una ra\u00edz cuadrada de A<\/em>.\u00a0<\/span><\/p>\n

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Demostracio\u0301n<\/h4>\n
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Dado que \"\"<\/a>Entonces \"\"<\/a><\/span><\/p>\n

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Proposici\u00f3n 2<\/h4>\n

Sean M<\/em>, \"\"<\/a>\u00a0y N<\/em> sim\u00e9trica. Entonces \u221aNM es una ra\u00edz cuadrada de M\u03c4NM.<\/em><\/p>\n

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Demostracio\u0301n<\/h4>\n
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Aplicando la proposicio\u0301n 2 en (5), es posible escribir\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Aplicando la ra\u00edz cuadrada de ambos lados de la ecuaci\u00f3n anterior, e introduciendo una matriz ortogonal \"\"<\/a>\u00a0se obtiene<\/div>\n
\"\"<\/a><\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

Proposici\u00f3n 3<\/h4>\n

Si D<\/em> es una matriz diagonal no singular, con entradas positivas, entonces \u221aD <\/em>es tambi\u00e9n no singular y \"\"<\/a><\/p>\n

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Demostracio\u0301n<\/h4>\n

\"\"<\/a>. Dado que D es invertible, \"\"<\/a>Esto implica que \u221a\"\"<\/a>\u00a0por lo tanto \u221aD<\/em> es invertible.<\/p>\n

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Adema\u0301s\"\"<\/a><\/p>\n

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Hasta aqui\u0301 es posible resolver para \"\"<\/a>\u00a0en (6). Por otro lado, si \"\"<\/a> es invertible, entonces<\/p>\n<\/div>\n

\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

Con lo cual<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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Partiendo de las definiciones de \"\"<\/a>en el lema 1, sustituyendo los resultados anteriores, tenemos:<\/span><\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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\n

Si \"\"<\/a> es invertible, entonces<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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donde \"\"<\/a>ha sido sustituida por U<\/em>, ya que U<\/em> es una matriz ortogonal arbitraria. Entonces\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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De donde se obtiene:\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Para las ecuaciones (8) y (10) se tiene una solucio\u0301n en \"\"<\/a>esto es<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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E\u0301stas deben de ser invertibles ya que son factores de un producto que genera la matriz identidad. Por lo que su determinante no puede ser cero. El resultado anterior nos permite enunciar el siguiente teorema que presenta la solucio\u0301n de la ARE.<\/p>\n

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Teorema 1. Soluciones de la ARE<\/h4>\n
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Sea la ARE definida como previamente, y sean Q<\/em> y D<\/em> las matrices de dimensio\u0301n\u00a0<\/span>2n\u00d72n de la\u00a0<\/span>des<\/span>composicio\u0301n en valores propios de la matriz co<\/span>eficiente particionada en n\u00d7n bloques. Entonces\u00a0<\/span>las soluciones de la CARE, parametrizadas con una matriz ortogonal \"\"<\/a>\u00a0tienen la forma<\/span><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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Siempre y cuando sea posible calcular las matrices inversas \u00a0en las expresiones anteriores.<\/p>\n

Demostraci\u00f3n<\/h4>\n

Sustituyendo las expresiones \"\"<\/a>\u00a0en las ecuaciones (7) y (9) se obtiene el resultado.<\/p>\n<\/div>\n

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EJEMPLOS<\/h4>\n
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Ejemplo 1<\/h4>\n
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A continuacio\u0301n se presentan dos ejemplos en los que se aplica la metodologi\u0301a presentada en la solucio\u0301n de la ARE (2). Tomando como coeficientes las siguientes matrices:
\n<\/a> \"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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Para e\u0301stas, la matriz S toma la forma<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n<\/div>\n

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que tiene la siguiente descomposicio\u0301n\"\"<\/a><\/p>\n

Usando la edici\u00f3n (11), y tomando la matriz ortogonal U<\/em> como la matriz identidad \"\"\u00a0<\/a>se obtiene la soluci\u00f3n:<\/p>\n

\"\"<\/a><\/p>\n

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Note que, en este caso, la matriz \"\"<\/a>\u00a0no es invertible, por lo tanto la ecuacio\u0301n (12) no puede ser usada.<\/p>\n<\/div>\n

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*Universidad Auto\u0301noma de Nuevo Leo\u0301n, San Nicola\u0301s delos Garza, Me\u0301xico.
\nContacto: maria.alcortagr@uanl.edu.mx<\/p>\n

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Recibido: 17\/10\/2022 <\/strong>
\nAceptado: 07\/03\/2024<\/strong><\/p>\n

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Mari\u0301a Aracelia Alcorta-Garci\u0301a*\u00a0ORCID: 0000-0002-9079-27 Juan Carlos Herna\u0301ndez-Medelli\u0301n*\u00a0ORCID: 0000-0002-5191-9514 CIENCIA UANL \/ AN\u0303O 27, No.127, septiembre-octubre 2024 DOI: https:\/\/doi.org\/10.29105\/cienciauanl27.127-5 Descargar PDF RESUMEN En este trabajo se obtiene un conjunto de soluciones para la ecuacio\u0301n algebraica de Riccati (ARE), la cual es expresada en te\u0301rminos de los coeficientes de la ecuacio\u0301n original sin necesidad de conocer una de las soluciones para, a […]<\/p>\n","protected":false},"author":4,"featured_media":13737,"comment_status":"closed","ping_status":"closed","sticky":false,"template":"","format":"standard","meta":{"_monsterinsights_skip_tracking":false,"_monsterinsights_sitenote_active":false,"_monsterinsights_sitenote_note":"","_monsterinsights_sitenote_category":0,"footnotes":""},"categories":[27],"tags":[],"class_list":["post-13527","post","type-post","status-publish","format-standard","has-post-thumbnail","hentry","category-investigacion"],"_links":{"self":[{"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/13527","targetHints":{"allow":["GET"]}}],"collection":[{"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts"}],"about":[{"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/types\/post"}],"author":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/users\/4"}],"replies":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcomments&post=13527"}],"version-history":[{"count":9,"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/13527\/revisions"}],"predecessor-version":[{"id":13870,"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/posts\/13527\/revisions\/13870"}],"wp:featuredmedia":[{"embeddable":true,"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=\/wp\/v2\/media\/13737"}],"wp:attachment":[{"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fmedia&parent=13527"}],"wp:term":[{"taxonomy":"category","embeddable":true,"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Fcategories&post=13527"},{"taxonomy":"post_tag","embeddable":true,"href":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/index.php?rest_route=%2Fwp%2Fv2%2Ftags&post=13527"}],"curies":[{"name":"wp","href":"https:\/\/api.w.org\/{rel}","templated":true}]}}