{"id":12006,"date":"2022-09-01T11:53:44","date_gmt":"2022-09-01T16:53:44","guid":{"rendered":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/?p=12006"},"modified":"2022-11-01T10:09:14","modified_gmt":"2022-11-01T16:09:14","slug":"un-infinito-mas-grande","status":"publish","type":"post","link":"https:\/\/cienciauanl.uanl.mx\/?p=12006","title":{"rendered":"UN INFINITO M\u00c1S GRANDE"},"content":{"rendered":"

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CIENCIA UANL \/ AN\u0303O 25, No.115, septiembre-octubre 2022<\/p>\n

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A\u0301ngel Jareb Navarro Castillo*, Jose\u0301 A\u0301ngel Andrade Armenda\u0301riz*<\/span><\/div>\n
PDF:Conciencia_115<\/a><\/div>\n
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Hay un concepto que es el corruptor y el desatinador de los otros. No hablo del mal cuyo limitado imperio es la e\u0301tica; hablo del infinito.<\/p>\n

Jorge Luis Borges<\/p>\n

Los n\u00fameros naturales \u2115={0,1,2,\u2026} son posiblemente el primer acercamiento matem\u00e1tico que tenemos con el infinito. No importa qu\u00e9 n\u00famero tomes, tan grande como te sea posible, si le sumas 1 tendr\u00e1s un n\u00famero todav\u00eda mayor. Sin embargo, \u00bfc\u00f3mo podemos concebir al conjunto \u2115, si es imposible conocer cada uno de sus elementos?, \u00bftiene sentido la existencia de algo infinito?<\/p>\n

La realidad es que el infinito est\u00e1 presente en la mayor parte de las Matem\u00e1ticas. Los n\u00fameros reales, las funciones continuas, la integral, la geometr\u00eda, y casi todas las ramas de las Matem\u00e1ticas requieren el uso de la noci\u00f3n de infinito.<\/p>\n

Y como el infinito forma parte de las Matem\u00e1ticas, y por el car\u00e1cter preciso y formal que tienen \u00e9stas, requiere una definici\u00f3n de la misma naturaleza. Esto fue conseguido a finales del siglo XIX por el matem\u00e1tico Georg Cantor (1845-1918), quien desarroll\u00f3 la teor\u00eda de conjuntos.<\/i><\/p>\n

El objetivo de este art\u00edculo es presentar la concepci\u00f3n matem\u00e1tica del infinito, y una de sus consecuencias m\u00e1s interesantes y sorpresivas. Para este fin, explicaremos una simplificaci\u00f3n de la teor\u00eda de conjuntos, poco precisa en beneficio de la accesibilidad. Para un estudio m\u00e1s formal y detallado puede consultar Hern\u00e1ndez (1998); en \u00e9sta y otras fuentes como Hrbacek y Jech (1999) y Jech (2013), basamos las definiciones \u201cintuitivas\u201d que utilizaremos en este art\u00edculo.<\/p>\n

TEOR\u00cdA DE CONJUNTOS<\/b><\/h4>\n

Un conjunto es una colecci\u00f3n de objetos que satisfacen una propiedad en com\u00fan. Si \ud835\udc5d es esa propiedad, entonces denotamos al conjunto correspondiente como {\ud835\udc65\/\ud835\udc5d(\ud835\udc65)}\u00b9, donde \ud835\udc5d(\ud835\udc65) es la notaci\u00f3n que utilizaremos para abreviar \u201c\ud835\udc65 satisface la propiedad \ud835\udc5d\u201d. Para decir que un objeto \ud835\udc65 pertenece a un conjunto \ud835\udc4b utilizamos la notaci\u00f3n \ud835\udc65\u2208\ud835\udc4b. Decimos que un conjunto \ud835\udc34 es subconjunto de (o est\u00e1 contenido en) otro conjunto \ud835\udc35 si todo elemento de \ud835\udc34 pertenece a \ud835\udc35, y lo abreviamos con la notaci\u00f3n \ud835\udc34\u2282\ud835\udc35. Cabe aclarar que, cuando un conjunto \ud835\udc34 es subconjunto de otro conjunto \ud835\udc35, no se est\u00e1 descartando la posibilidad de que sean iguales (\ud835\udc34=\ud835\udc35); si quisi\u00e9ramos aclarar que son distintos (\ud835\udc34\u2260\ud835\udc35) escribir\u00edamos \ud835\udc34\u228a\ud835\udc35 (\ud835\udc34 est\u00e1 contenido en \ud835\udc35 pero no es igual a \u00e9l).\u00a0<\/span><\/p>\n

Informalmente, una funci\u00f3n es una regla de correspondencia entre dos conjuntos, de tal forma que a cada elemento del primer conjunto le corresponde \u00fanicamente un elemento del segundo conjunto. Si \ud835\udc53 es una funci\u00f3n que asigna elementos del conjunto \ud835\udc34 a elementos del conjunto \ud835\udc35, decimos que \ud835\udc53 es una funci\u00f3n que va de \ud835\udc34 a \ud835\udc35 o simplemente escribimos \ud835\udc53: \ud835\udc34\u2192\ud835\udc35 (v\u00e9ase figura 1). Si \ud835\udc65\u2208\ud835\udc34, entonces denotamos como \ud835\udc53(\ud835\udc4e)\u00a0<\/span> al elemento en \ud835\udc35 correspondiente a \ud835\udc4e. Todo acerca de una funci\u00f3n \ud835\udc53 que va de \ud835\udc34 a \ud835\udc35 se puede abreviar escribiendo<\/p>\n

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donde, en lugar de escribir \ud835\udc53(\ud835\udc4e), se suele escribir la descripci\u00f3n general de la asignaci\u00f3n de cada elemento \ud835\udc4e<\/p>\n

\u00b9 En realidad, no toda propiedad \u201cformal\u201d puede definir un conjunto. Por ejemplo, si existiese un conjunto de la forma \ud835\udc34 = {\ud835\udc65\/\ud835\udc65\u2209\ud835\udc65} llegar\u00edamos a una contradicci\u00f3n (\u00bfse cumple \ud835\udc34\u2208\ud835\udc34?); a esto se le conoce como la paradoja de Rusell.<\/i>\"\"<\/a><\/p>\n

Decimos que una funci\u00f3n \ud835\udc53:\ud835\udc34\u2192\ud835\udc35 es biyectiva si a cada elemento del segundo conjunto le corresponde un \u00fanico elemento del primer conjunto (v\u00e9ase figura 2).<\/p>\n

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CONJUNTOS FINITOS E INFINITOS<\/b><\/h4>\n

Decimos que dos conjuntos \ud835\udc34 y \ud835\udc35 tienen el mismo tama\u00f1o si existe una funci\u00f3n \ud835\udc53:\ud835\udc34\u2192\ud835\udc35 biyectiva, y si \ud835\udc34 tiene el mismo tama\u00f1o que un conjunto \ud835\udc34 ={0,1,\u2026,\ud835\udc5b \u2013 1}, decimos que es \ud835\udc34 finito y tiene \ud835\udc5b elementos. Un conjunto es infinito si no es finito.<\/p>\n

Por ejemplo, \u2115 es infinito. Sin importar c\u00f3mo le asignes elementos de \ud835\udc34 a \u2115, siempre van a faltar n\u00fameros por cubrir.<\/p>\n

Cuando dos conjuntos \ud835\udc34 y \ud835\udc35\u00a0 <\/span>tienen el mismo tama\u00f1o, se suele decir que tienen la misma cardinalidad y se escribe |\ud835\udc34|=|\ud835\udc35|, donde |\ud835\udc34| denota el \u201cn\u00famero de elementos\u201d que tiene el conjunto \ud835\udc34, aunque su n\u00famero de elementos sea \u201cinfinito\u201d.<\/p>\n

Ejemplos conocidos de conjuntos infinitos son los de n\u00fameros pares, primos, enteros, racionales y reales.<\/p>\n

El conjunto de los n\u00fameros enteros consta de los n\u00fameros naturales y todos sus negativos; lo denotamos como \u2124={…,\u20132,\u20131,0,1,2,….}. El conjunto de n\u00fameros racionales es el conjunto de aquellos n\u00fameros conocidos com\u00fanmente como fracciones; lo denotamos como<\/p>\n

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N\u00fameros enteros como \u20132 se pueden expresar como n\u00fameros racionales mediante\u00a0 <\/span>\u20132\/1, por lo que todo n\u00famero entero es racional.<\/p>\n

El conjunto de n\u00fameros reales (denotado como \u211d) es un poco m\u00e1s dif\u00edcil de definir. Nos sirve pensar en un n\u00famero real como un arreglo infinito de n\u00fameros, donde el primer n\u00famero es un n\u00famero entero y el resto (los decimales) son n\u00fameros naturales entre el 0 y el 9. N\u00fameros racionales como 1\/3 se pueden expresar dentro del conjunto de n\u00fameros reales como 0.33333\u2026, por lo que abreviamos simplemente escribiendo 1\/3. Un ejemplo famoso de n\u00famero real que no es racional (en cuyo caso solemos llamarles n\u00fameros irracionales) es \u03c0=3.1415926535…<\/p>\n

Otra forma de describir un n\u00famero real es mediante una suma \"\"<\/a>, donde los n\u00fameros a son elementos de {0,1,\u2026,9}, a excepci\u00f3n del primero (\ud835\udc4e\u2080), que puede ser cualquier n\u00famero entero. Por ejemplo, \u201320.12333\u2026 se puede escribir como:\"\"<\/a><\/p>\n

Los conjuntos \u2124,\u211a y \u211d son ejemplos de conjuntos infinitos. Cabe preguntarse, \u00bfson del mismo tama\u00f1o? La intuici\u00f3n nos puede decir dos cosas: por un lado, tenemos que \u2115\u228a\u2124\u228a\u211a\u228a\u211d, por lo que parece razonable pensar que son conjuntos consecutivamente m\u00e1s grandes que el otro. Otra intuici\u00f3n nos dice que todos son infinitos y por lo tanto tienen el mismo tama\u00f1o, su tama\u00f1o es el\u00a0 <\/span>\u201cinfinito\u201d. Sin embargo, como veremos en las siguientes secciones, ambas suposiciones son err\u00f3neas.\"\"<\/a><\/p>\n

CONJUNTOS NUMERABLES<\/b><\/h4>\n

Un conjunto es numerable si existe una funci\u00f3n biyectiva entre \u00e9ste y \u2115. La idea intuitiva de que un conjunto X sea numerable es pensar que sus elementos se pueden enlistar u ordenar, seleccionando un primer elemento, luego un segundo, un tercero y as\u00ed sucesivamente. A pesar de que \u2124 y \u211a son conjuntos que contienen a los naturales, resulta que son numerables, tienen el mismo tama\u00f1o que \u2115.<\/p>\n

Para enlistar a los n\u00fameros enteros podemos escoger como primer elemento al cero, luego etiquetar a todos los naturales, cada uno seguido de su negativo (la lista resultante ser\u00eda 0,1,1,2,2,3,3,\u2026) y, como podemos imaginar, se terminar\u00e1 enlistando a todos los enteros.<\/p>\n

Puede sonar algo raro que los racionales sean numerables, ya que desde luego hay una cantidad infinita de racionales, pero, a diferencia de los n\u00fameros naturales y enteros, entre cualesquiera dos racionales hay una infinidad de ellos. Para exhibir la numerabilidad de los racionales probaremos que el conjunto de racionales no negativos (denotamos a este conjunto como \u211a\u207a) es numerable, ya que si \u211a\u207a es numerable, se pueden ordenar los racionales negativos usando el mismo argumento que utilizamos con los enteros (el proceso de alternaci\u00f3n de signos). Empezaremos escribiendo todos los naturales, luego, debajo de \u00e9stos escribiremos los naturales divididos entre dos, luego escribimos los naturales divididos entre tres y as\u00ed sucesivamente. Luego tomaremos la numeraci\u00f3n en diagonal, cada diagonal se tomar\u00e1 de izquierda a derecha, de tal forma que se termina con cada uno de los elementos de \u211a\u207a (v\u00e9ase figura 3). Hay que resaltar que en el orden que dimos para los racionales hay n\u00fameros que aparecen m\u00e1s de una vez (por ejemplo, 0\/1=0\/2), pero podemos simplemente saltarlos. De lo anterior podemos concluir que \u211a\u207a es numerable. De modo que, como ya mencionamos, haciendo uso de la alternaci\u00f3n de signos, se puede construir una numeraci\u00f3n de todos los racionales.\"\"<\/a><\/p>\n

As\u00ed, a pesar de que \u2115\u228a\u2124\u211a\u228aQ, los tres conjuntos son numerables, es decir, tienen la misma cardinalidad. \u00bfSer\u00e1 que todos los conjuntos infinitos tienen el mismo tama\u00f1o?<\/p>\n

INFINITOS M\u00c1S GRANDES QUE OTROS<\/b><\/h4>\n

Despu\u00e9s de saber que |\u2115|=|\u2124|=|\u211a|, resulta sorpresivo descubrir que \u211d es m\u00e1s grande que \u2115. Mostraremos que existe A\u2282\u211d no numerable, y dado que hay una parte del conjunto de los reales que no es numerable, en general \u211d es no numerable. Consideraremos al conjunto (0,1), el cual consta de todos los n\u00fameros reales entre cero y uno.<\/p>\n

Si suponemos que (0,1) es numerable, entonces podr\u00edamos enlistarlo, como lo muestra la figura 4 (la cual exhibe los primeros cinco n\u00fameros), donde el \ud835\udc58-\u00e9simo n\u00famero real tiene expansi\u00f3n en decimales como se ve en la imagen. Ahora, por el supuesto, todos los n\u00fameros reales deben estar en la lista. Denotamos al \ud835\udc56-\u00e9simo decimal del \ud835\udc56-\u00e9simo n\u00famero real como \ud835\udc51\u1d62<\/i>,<\/i>\u1d62<\/i>. Consideremos a un n\u00famero real entre cero y uno, \"\" <\/a>donde elegiremos, para cada decimal \ud835\udc56-\u00e9simo D\u1d62<\/i>, cualquier n\u00famero distinto de \ud835\udc51\u1d62<\/i>,\u1d62<\/i>. El n\u00famero real \ud835\udc65 deber\u00eda estar en la lista de los n\u00fameros reales, de modo que \ud835\udc65=\ud835\udc5bk<\/sub> para alg\u00fan \ud835\udc58\u2208\u2115, o bien, \ud835\udc65 ser\u00eda el \ud835\udc58-\u00e9simo n\u00famero real, donde su \ud835\udc58-\u00e9simo decimal es \ud835\udc51k<\/sub>,k<\/sub>, pero el \ud835\udc58-\u00e9simo decimal de \ud835\udc65 es Dk<\/sub><\/i>, donde Dk<\/sub><\/i>\u2260\ud835\udc51kk<\/sub><\/i>, de modo que \ud835\udc5bk<\/sub>\u2260\ud835\udc65, lo cual es una contradicci\u00f3n. Por lo tanto, podemos concluir que el conjunto (0,1) no es numerable, de modo que \u211d no es numerable.<\/p>\n

\"\"<\/a>La anterior prueba, que consisti\u00f3 en construir un n\u00famero tomando decimales distintos a los de la diagonal de una hipot\u00e9tica lista de n\u00fameros reales, es com\u00fanmente llamada diagonal de Cantor<\/i>. La demostraci\u00f3n de la no numerabilidad de \u211d fue formulada por primera vez por Georg Cantor en 1874, pero ser\u00eda despu\u00e9s cuando a\u00f1adir\u00eda el argumento de la diagonal (v\u00e9ase Ferreir\u00f3s (2008) para \u00e9ste y otros detalles hist\u00f3ricos de la teor\u00eda de conjuntos).<\/p>\n

CONCLUSI\u00d3N<\/b><\/h4>\n

Resulta que hay conjuntos infinitos de distintos tama\u00f1os. Expusimos aqu\u00ed dos de estos \u201cinfinitos\u201d, el infinito de \u2115 y el de \u211d, pero hay incluso m\u00e1s, infinitos m\u00e1s (el lector puede investigar m\u00e1s en Graci\u00e1n (2014), o aventurarse a un estudio formal de Hern\u00e1ndez (1998) o Hrbacek y Jech (1999)).<\/p>\n

La diferencia entre tama\u00f1os de dos conjuntos infinitos no est\u00e1 determinada por el que uno est\u00e9 contenido en el otro, pues como pudimos ver |\u2115|=|\u2124|=|\u211a|.<\/p>\n

Estos resultados pueden parecer contraintuitivos o parad\u00f3jicos, pero en realidad son consecuencias de la definici\u00f3n precisa de conjunto infinito, una definici\u00f3n que nos demuestra el poder de las Matem\u00e1ticas para dar luz a las ideas m\u00e1s desafiantes. El infinito no es inalcanzable para la raz\u00f3n humana, es un objeto matem\u00e1tico.<\/p>\n

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* Universidad Auto\u0301noma de Nuevo Leo\u0301n, San Nicola\u0301s de los Garza, Me\u0301xico.
\nContacto: amaniel2718@protonmail.com<\/p>\n

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REFERENCIAS<\/b><\/h4>\n

Hern\u00e1ndez, F.H. (1998). Teor\u00eda de conjuntos<\/i>. M\u00e9xico: Sociedad Matem\u00e1tica Mexicana.<\/p>\n

Fres\u00e1n, J. (2010). El sue\u00f1o de la raz\u00f3n: la l\u00f3gica matem\u00e1tica y sus paradojas.<\/i> M\u00e9xico: RBA Coleccionables.<\/p>\n

Graci\u00e1n, E. (2014). Un descubrimiento sin fin: el infinito matem\u00e1tico.<\/i> M\u00e9xico: RBA Coleccionables.<\/p>\n

Hrbacek, K., y Jech, T. (1999). Introduction to set theory, revised and expanded.<\/i> Nueva York: Crc Press.<\/p>\n

Ferreir\u00f3s, J. (2008). Labyrinth of thought: A history of set theory and its role in modern mathematics.<\/i> Springer Science y Business Media.<\/p>\n

Jech, T. (2013). Set Theory: The Third Millennium Edition, revised and expanded<\/i> (Springer Monographs in Mathematics). Springer.<\/p>\n

Halmos, P. R. (2017). Naive set theory.<\/i> Nueva York: Courier Dover Publications.<\/p>\n

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