El control basado en modelos en BG ha utilizado ligaduras que permiten el intercambio de energ\u00eda y ligaduras activas que solamente permiten el intercambio de informaci\u00f3n. En el primer enfoque, cada controlador es dise\u00f1ado espec\u00edficamente para una planta, incorporando informaci\u00f3n de \u00e9sta, de su ambiente y argumentos f\u00edsicos, tal como en el control de un sistema multip\u00e9ndulo (Gawthrop, 1995). Adem\u00e1s, un observador no lineal en BG (Roberts, Balance y Gawthrop, 1995) ha sido propuesto para estimar las velocidades angulares de un doble p\u00e9ndulo. En estos trabajos no se garantiza la estabilidad del sistema en lazo cerrado, en cambio, la estabilizaci\u00f3n de un equilibrio deseado (Donaire y Junco, 2009) se logra resolviendo el conjunto de ecuaciones diferenciales parciales que minimizan la funci\u00f3n de energ\u00eda de lazo cerrado. Esta funci\u00f3n se expresa junto con la interconexi\u00f3n y amortiguamiento en un BG objetivo, que se construye a partir del BG de la planta. Adem\u00e1s, la Estructura de Uni\u00f3n (EU) (Donaire y Junco, 2009) ha sido utilizada para determinar equivalencias y propiedades entre el BG de la planta y su representaci\u00f3n Hamiltoniana, y mejoran la robustez de los m\u00e9todos basados en pasividad, agregando al BG objetivo elementos virtuales que representan la acci\u00f3n integral. En el segundo enfoque, el controlador es dise\u00f1ado utilizando las t\u00e9cnicas de control convencionales, como en el control de una celda de combustible (Vijay, Samantaray y Mukherjee, 2009).<\/p>\n
Por otro lado, propiedades del sistema, como controlabilidad y observabilidad estructurales, han sido analizadas utilizando la EU del BG de la planta y manipulaciones causales (Dauphin-Tanguy, Rahmani y Sueur, 1999). Las propiedades estructurales de los sistemas din\u00e1micos (Lin, 1974) son propiedades v\u00e1lidas para casi todos los valores num\u00e9ricos de sus par\u00e1metros. Adem\u00e1s, la estabilidad estructural y el desacoplamiento entrada\/salida (Dauphin-Tanguy, Rahmani y Sueur, 1999) han sido analizados, aplic\u00e1ndolo a un modelo de suspensi\u00f3n de medio carro. Propiedades de BG singulares han sido analizadas (Lamb, Woodall y Asher, 1997) mostrando su relaci\u00f3n con la causalidad. Lazos algebraicos se eliminan (Gonz\u00e1lez y Galindo, 2009a; 2009b), bas\u00e1ndose en una Estructura de Pseudouni\u00f3n (EPU) (Gonz\u00e1lez y Galindo, 2009a) que se construye para una descripci\u00f3n en espacio estados de un sistema lineal invariante en el tiempo dado.<\/p>\n Muchos trabajos sobre Control Basado en Pasividad (CBP) han sido desarrollados (Ortega y Garc\u00eda, 2004), pero pocos sobre CBP basado en modelos en BG, en uno de ellos (Brogliato et al<\/em>., 2007) se agrega amortiguamiento a un convertidor de potencia de CD\/CD tal que el sistema en lazo cerrado sea pasivo.<\/p>\n Notaci\u00f3n: Uno de los objetivos principales es utilizar las propiedades de la EU de BG para dise\u00f1ar controladores robustos. Las uniones est\u00e1n clasificadas como uniones externas, conectando los elementos almacenadores de energ\u00eda I y C, los disipativos R y las fuentes moduladas de e y f, donde Sin embargo, modelos en BG que usan ligaduras activas no satisfacen P1 y P2. Estos sistemas no conservativos surgen en la interconexi\u00f3n de subsistemas sin efecto de carga o en modelos en BG que incluyen escalamientos de potencia (Li y Ngwompo, 2005) o en sistemas que incluyen fuentes internas Se proponen nuevas EPU para el sistema en lazo cerrado, que permiten enfocarse en las propiedades de energ\u00eda de su multipuerto disipativo, en particular pasividad. CBP es investigado basado en las EPU propuestas. Uno de los objetivos es dise\u00f1ar un control tal que el sistema en lazo cerrado sea pasivo, esto es, el control debe ser tal que el multipuerto disipativo sea pasivo en las EPU propuestas, entonces si el resto de los elementos es pasivo y solamente se tienen entradas y salidas cuyo producto es potencia, el sistema retroalimentado es pasivo (Beaman y Rosenberg, 1988). Se dan aplicaciones de este resultado cuando la planta y el controlador est\u00e1n descritos por EU propuestas. Estas EPU requieren que el n\u00famero de Is<\/em> y Cs<\/em> sea igual al de Rs<\/em> (Ortega y Garc\u00eda, 2004). Esta condici\u00f3n se puede lograr mediante,<\/p>\n Proposici\u00f3n 1<\/strong> (Ngwompo y Galindo, 2017). Si se requiere aumentar el modelo en BG,<\/p>\n Figura 1. Aumentando el modelo en BG utilizando elementos par\u00e1sitos.<\/p><\/div>\n Esta proposici\u00f3n constructiva se muestra en la figura 1, donde se realiza una asignaci\u00f3n de causalidad integral predefinida. As\u00ed, las ligaduras fuertes imponen la causalidad a todos los elementos conectados a estas uniones y aseguran que Suposici\u00f3n 1<\/strong>. Cada subsistema a ser interconectado sin efecto de carga satisface Adem\u00e1s, la figura 1 implica que Lema 1 (Ngwompo y Galindo, 2017). Dada una EU, donde el nuevo multipuerto disipativo est\u00e1 definido por la ecuaci\u00f3n constitutiva, Figura 2. EPU detallada para modelos en BG.<\/p><\/div>\n La ecuaci\u00f3n (3) y la definici\u00f3n del multipuerto disipativo sugieren que la EPU tiene la representaci\u00f3n detallada dada en la figura 2, donde La uni\u00f3n entre Se ha desarrollado una aplicaci\u00f3n simple del Lema 1 a un circuito RC en lazo cerrado (Ngwompo y Galindo, 2017), donde se da el BG con PTF y se analizan las propiedades de pasividad. Adem\u00e1s, se ha desarrollado (Ngwompo y Galindo, 2017) el an\u00e1lisis de pasividad para una configuraci\u00f3n con retroalimentaci\u00f3n est\u00e1tica de salida y su aplicaci\u00f3n a un sistema de dos puertos.<\/p>\n El Lema 1 provee una representaci\u00f3n donde todos los elementos disipativos y la generaci\u00f3n interna de potencia est\u00e1n incluidos en el nuevo campo-R<\/em>. El balance de la disipaci\u00f3n y la generaci\u00f3n interna est\u00e1 entonces expresado en la ecuaci\u00f3n constitutiva de este elemento y por lo tanto determina la propiedad de pasividad del sistema completo. Intuitivamente, si el sistema retroalimentado es pasivo, la potencia total disipada deber\u00e1 ser mayor que la potencia generada por las fuentes internas.<\/p>\n Se propone (Galindo y Ngwompo, 2017) una EU, Suposici\u00f3n 2.<\/strong> Con j = a<\/em> para el controlador y j = b<\/em> para la planta,<\/p>\n Bajo esta suposici\u00f3n,<\/p>\n <\/p>\n Figura 3: Configuraci\u00f3n retroalimentada de modelos en BG.<\/p><\/div>\n Se propone una EPU para la configuraci\u00f3n retroalimentada mostrada en la figura 3, donde siendo Teorema 1 (Galindo y Ngwompo, 2017). Suponga que dos modelos en BG est\u00e1n conectados en lazo cerrado como se muestra en la figura 3, satisfaciendo las suposiciones 1 y 2. Considere dos EU asociadas a estos modelos en BG<\/em>, S\u00aa(0, 1, TF<\/em>, GY<\/em>) y M\u00e1s a\u00fan, para sistemas estrictamente propios, esto es, para En el siguiente Corolario se resuelve el problema de colocaci\u00f3n de polos para una clase particular de sistemas, asignando un polinomio caracter\u00edstico deseado a la funci\u00f3n de transferencia de lazo cerrado. Se asume que las entradas y las salidas de la planta son linealmente independientes.<\/p>\n Corolario 1<\/strong> (Galindo y Ngwompo, 2017). Bajo las suposiciones del Teorema 1, adem\u00e1s asuma que la planta es estrictamente propia, esto es, La ganancia de la referencia,<\/p>\n Figura 4. Configuraci\u00f3n retroalimentada de un grado de libertad para seguimiento de la referencia.<\/p><\/div>\n A continuaci\u00f3n se da un ejemplo de CBP de un sistema de dos masas (Galindo y Ngwompo, 2017) aplicando el Teorema 1 y el Corolario 1.<\/p>\n De acuerdo a la suposici\u00f3n 1, se seleccionan salidas y referencias de velocidades, cuyo producto es potencia, para que el sistema retroalimentado sea pasivo (Beaman y Rosenberg, 1988), cuando todos los elementos son pasivos. Este control es aplicado para salidas de posici\u00f3n utilizando una aproximaci\u00f3n de una derivada, como se muestra en la figura 4, donde 0 < \u03b5 \u2208\u211c es un par\u00e1metro real relativamente peque\u00f1o.<\/p>\n Figura 6. Modelo en BG aumentado de un sistema de dos masas, resortes y amortiguadores.<\/p><\/div>\n Considere el sistema de dos masas mostrado en la figura 5, donde En relaci\u00f3n a controlar posiciones utilizando el control anterior dise\u00f1ado para velocidades, el controlador es implementado en MATLAB\/Simulink en la configuraci\u00f3n retroalimentada de la figura 4, donde los par\u00e1metros de la planta son La proposici\u00f3n constructiva mostrada en la figura 1 asegura que todos los elementos del sistema acepten causalidad integral predefinida, y adem\u00e1s simplifica la EU debido a que se satisface la suposici\u00f3n 2. Sin esta proposici\u00f3n, las EPU de lazo cerrado no ser\u00edan manejables, dificultando la obtenci\u00f3n de las condiciones de pasividad. Cuando se agregan Rs<\/em> par\u00e1sitas, se agregan elementos casi cero en el multipuerto disipativo, que pueden eliminarse despu\u00e9s de obtener las condiciones de pasividad. Adem\u00e1s, cuando se agregan Cs<\/em> o Is<\/em>, el sistema aumentado es singularmente perturbado y las din\u00e1micas r\u00e1pidas agregadas deber\u00e1n ser estables de acuerdo al Teorema de Tikhonov (Kokotovik, Khalil y O\u2019Reilly, 1999). Estos elementos par\u00e1sitos agregan elementos 1\/\u03b5 en F<\/em>, donde \u03b5 \u2208\u211c es un par\u00e1metro de perturbaci\u00f3n relativamente peque\u00f1o que remplaza los Cs<\/em> e Is<\/em> agregados. Se ha desarrollado la ecuaci\u00f3n de estado del sistema y el estado quasiestacionario (Galindo y Ngwompo, 2017), o alternativamente en el enfoque de BG (Gonz\u00e1lez, 2016). M\u00e1s a\u00fan, todos los elementos aceptan causalidad derivativa predefinida en el modelo en BG singularmente perturbado (Gonz\u00e1lez, 2016) satisfaciendo las condiciones para determinar el modelo quasiestacionario.<\/p>\n Las EU propuestas asociadas a modelos en BG presentadas en la proposici\u00f3n 2 tienen significado f\u00edsico. La estructura del controlador dada por (4) tiene la estructura de la planta, simplificando su implementaci\u00f3n. Este controlador din\u00e1mico utilizado en una configuraci\u00f3n retroalimentada de salida es m\u00e1s sencillo de implementar que el controlador (Gawthrop, 1995) que utiliza BG en un marco gen\u00e9rico basado en observador para el dise\u00f1o de controladores en el dominio f\u00edsico.<\/p>\n Sea H<\/em> una funci\u00f3n Hamiltoniana de la energ\u00eda total, entonces z(t)=\u2202H \/ \u2202x(t)<\/em> y del Lema 1 se deduce que Por otro lado, el Corolario 1 muestra que el polinomio caracter\u00edstico de la funci\u00f3n de transferencia de Las EPU propuestas permiten obtener las condiciones de pasividad, que implican la estabilidad del sistema. Sin embargo, puede haber sistemas estables que no sean pasivos, por lo que resta por investigar cu\u00e1les de las condiciones obtenidas est\u00e1n directamente relacionadas con la estabilidad del sistema.<\/p>\n Se presenta un enfoque general para el an\u00e1lisis de pasividad y el dise\u00f1o de CBP de sistemas lineales con fuentes internas moduladas, modelados por BG. El enfoque est\u00e1 basado en EPU propuestas, que son una representaci\u00f3n alternativa para EU no conservativas asociadas a modelos en BG, en las cuales todos los elementos disipativos y fuentes internas moduladas son incluidos en un multipuerto disipativo. La propiedad de pasividad de su matriz constitutiva de este multipuerto resultante determina la propiedad de pasividad del sistema completo. Se investiga la configuraci\u00f3n en lazo cerrado, que puede ser utilizada recursivamente en el dise\u00f1o de sistemas mecatr\u00f3nicos o de control complejos. Se muestra que el m\u00e9todo provee una gu\u00eda para la selecci\u00f3n de la estructura del controlador y la asignaci\u00f3n de par\u00e1metros relevantes. El resultado muestra que las EPU propuestas logran estabilidad robusta. Se dan aplicaciones de este resultado cuando la planta y el controlador est\u00e1n descritos por EU propuestas.<\/p>\n Los resultados muestran que la condici\u00f3n de pasividad del sistema en lazo cerrado permite sintonizar los par\u00e1metros de control cuando se consideran \u00fanicamente fuentes externas de potencia despu\u00e9s de la interconexi\u00f3n. Se propone una aproximaci\u00f3n de la derivada para controlar salidas de posici\u00f3n cuando el controlador es dise\u00f1ado para el control de velocidades. Los resultados muestran que se resuelve el problema de control de seguimiento cuando el controlador es dise\u00f1ado en el dominio f\u00edsico. M\u00e1s a\u00fan, se considera el problema de asignaci\u00f3n de polos para una clase particular de sistemas utilizando la representaci\u00f3n propuesta. Las EPU en la representaci\u00f3n de sistemas de lazo cerrado proveen un marco de referencia para el dise\u00f1o de controladores avanzados en el dominio f\u00edsico. Control \u00f3ptimo, control basado en energ\u00eda o control de sistemas h\u00edbridos basados en modelos de promedios pueden ser abordados utilizando este enfoque. Investigaciones posteriores pueden realizarse para desempe\u00f1o robusto y para extensiones a sistemas no-lineales.<\/p>\n <\/p>\n * Universidad Aut\u00f3noma de Nuevo Le\u00f3n. Beaman, J.J., y Rosenberg, R.C. (1988). Constitutive and modulation structure in bond graph modeling. J. of Dynamic Systems, Measurement and Control<\/em>. 110:395-402. <\/p>\n <\/p>\n <\/p>\n","protected":false},"excerpt":{"rendered":" Ren\u00e9 Galindo Orozco* CIENCIA UANL \/ A\u00d1O 23, No.103, septiembre-octubre 2020 El control autom\u00e1tico ha sido ampliamente utilizado para mejorar el desempe\u00f1o de sistemas en lazo cerrado o reducir el efecto de perturbaciones o de din\u00e1micas no modeladas sobre salidas de inter\u00e9s, y el incremento en la complejidad de los sistemas requiere de modelos matem\u00e1ticos para control autom\u00e1tico. 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<\/a><\/p>\n <\/a>es la matriz identidad de dimensi\u00f3n p\u00d7p<\/em>; diag<\/a>\u00a0es una matriz diagonal de dimensi\u00f3n n\u00d7n<\/em> cuyos elementos son <\/a>\u00a0 una matriz real M<\/em> es semidefinida positiva si y s\u00f3lo si la parte sim\u00e9trica <\/a> es positiva semidefinida, donde <\/a>\u00a0es la transpuesta de M<\/em>; <\/a> y <\/a>\u00a0son el esfuerzo y flujo del elemento M<\/em>, respectivamente, y 0 y 1 son conexiones en paralelo y en serie, respectivamente.<\/p>\nEPU PROPUESTAS<\/h4>\n
<\/a>, respectivamente, y en uniones internas conectando las uniones 0 y 1, y los elementos transformadores TF<\/em> y giradores GY<\/em>. La EU, S(0, 1, TF, GY<\/em>) habilita o deshabilita los intercambios de energ\u00eda que hacen cumplir las restricciones de balance de energ\u00eda y algebraicas de los sistemas din\u00e1micos. Las relaciones de la EU est\u00e1n dadas por,<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a> es el estado asociado con los elementos I<\/em> y C<\/em> en causalidad integral, <\/a>\u00a0es la coenerg\u00eda compuesta de variables de e<\/em> y f,<\/em> <\/a> y <\/a> asocian esfuerzos y flujos entre el campo disipativo R<\/em> y la EU, <\/a> y <\/a>son la entrada y salida del sistema, respectivamente, y S(0, 1, TF<\/em>, GY<\/em>) tiene una partici\u00f3n a bloques acorde con las dimensiones de \u1e8b(t), Di(t), y(t), z(t), <\/a> y u(t)<\/em>, y se asume que todos los estados tienen una asignaci\u00f3n de causalidad integral. Relaciones lineales de los campos disipativos y de almacenamiento son z(t)<\/em>=Fx(t)<\/em> y <\/a><\/em>=<\/a>\u00a0donde F<\/em> y L<\/em> son matrices diagonales compuestas de elementos 1\/I<\/em> y 1\/C<\/em>, y de elementos R<\/em> y 1\/R<\/em>, respectivamente. Las EU son tipos especiales de campos-R<\/em> que nunca disipan potencia, sus propiedades (Lin, 1974; Sueur y Dauphin-Tanguy, 1989) de continuidad de potencia son,<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a>, como los actuadores en sistemas de control. En este caso la EU es funci\u00f3n de estas fuentes, esto es, <\/a>.<\/p>\n<\/a><\/p>\n\n
<\/a><\/a>. Por lo que, dado que esto se realiza por cada par R \u2212 C y R \u2212 I<\/em>, entonces, se asume que,<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a>\u00a0para un sistema conservativo. Sin embargo, esto no es cierto para sistemas no conservativos, para los cuales, en el siguiente lema se propone una representaci\u00f3n alternativa y su construcci\u00f3n, es decir, se establece la EPU para un BG aumentado.<\/p>\n<\/a>, de un BG modelando a un sistema lineal invariante en el tiempo,<\/a>que satisface la suposici\u00f3n 1, donde <\/a>, <\/a>, <\/a> Entonces, una EPU interna equivalente <\/a>\u00a0satisfaciendo P1<\/em> y P2<\/em> es,<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a>. M\u00e1s a\u00fan, el sistema es pasivo si: <\/a><\/p>\n<\/a><\/a> Esta representaci\u00f3n claramente muestra que la EPU consiste de una estructura interna <\/a> y una estructura externa S. <\/a> es conservativa, dado que contiene \u00fanicamente elementos 0, 1, TF<\/em> y GY<\/em>, satisfaciendo P1 y P2, esto es, <\/a> cuando u(t)<\/em>=0, que en general no se cumple para S<\/em>.<\/p>\n<\/a>\u00a0y R<\/em>, mostrada en la figura 2, tiene la particularidad de que mientras <\/a> es transferida sin ning\u00fan cambio, su variable conjugada <\/a> es escalada por el factor matricial <\/a>\u00a0 \u00a0en <\/a>\u00a0Esto ocurre en los elementos con escalamiento de potencia (Li y Ngwompo, 2005) que ahora son multipuertos PTF<\/em> y PGY<\/em> teniendo un factor de escala matricial <\/a>\u00a0 involucrando un acoplamiento entre las ganancias de las fuentes moduladas en las submatrices <\/a> y los par\u00e1metros de R<\/em> en L<\/em>.<\/p>\nCBP PROPUESTO<\/h4>\n
<\/a>\u00a0 asociada a un modelo en BG para el controlador y se asume que la EU, <\/a> asociada a un modelo en BG de la planta controlable y observable satisface,<\/p>\n\n
<\/a> y es antisim\u00e9trica, y<\/li>\n<\/a> no est\u00e1n relacionadas con los campos disipativos <\/a><\/li>\n<\/ol>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/a><\/p>\n<\/a>\u00a0 son las EU asociadas a los BG del controlador y de la planta, respectivamente. Se asume que los subsistemas est\u00e1n interconectados por ligaduras activas que modulan las fuentes de esfuerzo y flujo, esto es,<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a> a matrices no singulares compuestas por las ganancias de <\/a>. Debido a esta conexi\u00f3n, el sistema completo puede no ser conservativo. El siguiente Teorema presenta condiciones de pasividad (que implican estabilidad) basadas en las propiedades del multipuerto disipativo del sistema en lazo cerrado. El objetivo es seleccionar las ganancias <\/a> <\/a> los elementos de la EU propuesta y el multipuerto disipativo del controlador dado por (4).<\/p>\n<\/a>(0, 1, TF<\/em>, GY<\/em>) dadas por (4). Entonces, una EPU equivalente interna (0, 1, TF<\/em>, GY, <\/a><\/em>\u00a0para el sistema en lazo cerrado, satisfaciendo P1 y P2 es,<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a>= 0, la desigualdad (7) se reduce a,
\n<\/strong><\/a><\/p>\n<\/a>=0, <\/a>, <\/a> y <\/a> el polinomio caracter\u00edstico de lazo cerrado deseado de la funci\u00f3n de transferencia de <\/a> a <\/a> donde<\/a>\u00a0 Entonces, la funci\u00f3n de transferencia de <\/a>,<\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a>APLICACI\u00d3N A UN SISTEMA DE DOS MASAS<\/h4>\n
<\/a><\/a> i<\/em>=1, 2, son las masas, los coeficientes de rigidez y fricci\u00f3n, respectivamente, <\/a> son fuerzas aplicadas a <\/a>\u00a0y <\/a> respectivamente, y <\/a> son las velocidades de <\/a> y <\/a> respectivamente. Sin las resistencias <\/a>\u00a0 y sin los bonds en l\u00edneas discontinuas que las conectan, la figura 6 muestra un modelo en BG de este sistema. En relaci\u00f3n a aplicar el Teorema 1 y el Corolario 1, asegurando que <\/a> sea una matriz no-singular, se agregan resistencias <\/a> relativamente grandes como se muestra en la figura 6. La EU de este modelo en BG aumentado es,<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a><\/p>\n<\/a> y <\/a>.\u00a0 Las posiciones de <\/a> y <\/a> y las fuerzas aplicadas se muestran en la figura 7 cuando <\/a>, y en la figura 8 cuando <\/a><\/a>I2, al aplicar la referencia escal\u00f3n <\/a> Esto se logra con una respuesta estable teniendo error en estado estacionario cero como se muestra en las figuras 7 y 8, y debido a las propiedades de pasividad las fuerzas requeridas son suaves y dentro de un rango admisible. Las oscilaciones iniciales de las posiciones de <\/a> y <\/a> de la figura 7 se deben al polinomio caracter\u00edstico asignado <\/a> y pueden eliminarse seleccionando en su lugar <\/a> con un tiempo de respuesta mayor. Por otro lado, una respuesta suave se muestra en la figura 8, donde el polinomio caracter\u00edstico deseado de la funci\u00f3n de transferencia de <\/a>\u00a0 a <\/a> es <\/a>\u00a0y en este caso es asignado libremente.<\/p>\nDISCUSI\u00d3N<\/h4>\n
<\/a>\u00a0 para obtener un sistema de puerto Hamiltoniano disipativo (Van der Schaft y Jeltsema, 2014), asegurando pasividad, por lo que el Teorema 1 da una soluci\u00f3n m\u00e1s general permitiendo que <\/a> en el sistema en lazo cerrado, mientras que en el Corolario 1, <\/a> y <\/a>. El Teorema 1 y el Corolario 1 son un enfoque alternativo al de puerto Hamiltoniano disipativo.<\/p>\n<\/a> a <\/a> puede ser asignado libremente cuando <\/a> y logra una colocaci\u00f3n restringida de los polos cuando <\/a>. En este \u00faltimo caso la implementaci\u00f3n de este controlador estrictamente propio es m\u00e1s sencilla dado que <\/a>. Cuando ,<\/a> el coeficiente fijo del polinomio caracter\u00edstico satisface <\/a> debido a que <\/a> es una matriz sim\u00e9trica y <\/a>\u00a0es una matriz antisim\u00e9trica. Esto es consistente con la condici\u00f3n de (10), y en este caso conduce a una condici\u00f3n m\u00e1s sencilla comparada con la que requiere que <\/a>\u00a0y una condici\u00f3n de conmutabilidad adicional (Galindo, 2015).<\/p>\nCONCLUSIONES<\/h4>\n
\nContacto: rgalindoro@gmail.com<\/p>\nREFERENCIAS<\/h4>\n
\nBrogliato, B., Lozano, R., Maschke, B., et al.<\/em> (2007). Dissipative Systems Analysis and Control, Theory and Applications<\/em>. SpringerVerlag.
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