Teoría de la relatividad: espacio-tiempo, geometría y gravitación

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Hernando Quevedo*

CIENCIA UANL / AÑO 19, No. 82, NOVIEMBRE-DICIEMBRE 2016

RESUMEN

La relatividad es considerada como una de las teorías más exitosas y mejor fundamentadas que existen en la actualidad. Uno de sus resultados más importantes es la predicción de la edad del universo que de acuerdo a las observaciones actuales se estima en 13.8 mil millones de años. En este artículo se presentan de forma introductoria los aspectos básicos de la teoría especial y general de la relatividad. Se explica cómo surgió la idea del espacio-tiempo en cuatro dimensiones y sus consecuencias para nuestro entendimiento de la naturaleza. En particular, se muestra que la teoría de la relatividad general se utiliza para describir el campo gravitacional.

Palabras clave: relatividad, espacio, tiempo, Einstein, espacio de Minkowski.

ABSTRACT

The theory of relativity is considered as one of the most successful and solid theories in modern sciences. One of its most important results is the prediction of the age of the Universe which, according to current observations, is estimated in 13.8 billion years. This work presents an introduction to the basic aspects of special and general relativity. We explain the origin of the idea of spacetime and its consequences for the understanding of Nature. In particular, it is shown how the theory of relativity is used to describe the gravitational field.

Keywords: relativity, space, time, Einstein, Minkowski space

Según los resultados actuales de fechado radiométricos, la Tierra tiene una edad aproximada de 4,470 millones de años (Hazen, 2013). No obstante, los elementos de los que está compuesta la Tierra fueron formados mucho antes, durante los primeros minutos de la existencia del universo. La estimación de la edad del universo, por otra parte, se basa en un resultado puramente teórico y en la actualidad tiene un valor de 13,798 millones de años (Misner, Thorne y Wheeler, 1973). Dicha estimación se realiza mediante la aplicación de la teoría de la relatividad en el contexto de la cosmología.

La teoría de la relatividad es considerada por la mayoría de los físicos teóricos como uno de los logros científicos más grandes de la humanidad. Su autor, el físico alemán Albert Einstein, fue nombrado el hombre más influyente del siglo XX por la renombrada revista Time. Y es que las ideas de la relatividad han impregnado, en el transcurso del último siglo, prácticamente todas las áreas de investigación tanto en física teórica como en física experimental. La relatividad interviene en todos los fenómenos en los que de manera directa participa alguna de las cuatro fuerzas conocidas hasta ahora en la Naturaleza, a saber, la fuerza gravitacional, electromagnética, fuerte y débil.

Dicha teoría se divide en dos partes conocidas como relatividad especial y relatividad general. La primera fue propuesta en 1905 y tuvo inmediatamente un impacto sorprendente en diferentes campos de la ciencia. Dada su importancia, y para conmemorar su primer centenario, 2005 fue declarado como el Año Internacional de la Física a nivel mundial. La relatividad general fue formulada en su versión definitiva en 1915, tras diez años de intenso trabajo en los que Einstein, junto con otros físicos y matemáticos de la época, logró encontrar la relación intrínseca entre la geometría y la fuerza gravitacional.

Las predicciones de la relatividad han sido objeto de intensos estudios por muchos años, y con el fin de corroborar la teoría en el experimento se han desarrollado nuevas tecnologías. Como ejemplo podemos mencionar las ondas gravitacionales que fueron observadas sólo recientemente en 2015, a más de 100 años de su predicción. La tecnología desarrollada para detectar ondas gravitacionales permite medir diferencias de distancia del orden de 10-22 m (distancia mucho más pequeña que un átomo de hidrógeno), usando incluso efectos de física cuántica.

SISTEMAS DE REFERENCIA

La física es una ciencia que pretende explicar todos los fenómenos que observamos en la naturaleza. Por lo mismo, resulta necesario de inicio fijar el concepto de observador. Definiremos un observador como un individuo que cuenta con los instrumentos necesarios como un reloj y una regla, para medir intervalos de tiempo y distancias. Una manera un tanto abstracta de representar un observador es mediante el diagrama que simboliza el eje vertical como el tiempo (coordenada t) y el horizontal como la distancia o el espacio (coordenada x). En la figura 1 se muestra solamente un eje espacial a la que nos limitaremos por sencillez y cuya representación también es conocida como sistema de referencia: primero tenemos el sistema de referencia con coordenadas (t,x) que suponemos en reposo. El sistema (t’,x’) se desplaza con velocidad constante v en la dirección del eje x que coincide con la dirección del eje x’. Decimos entonces que el sistema (t’,x’) es inercial con respecto al sistema (t,x) porque se mueve con velocidad constante v. Cualquier otro sistema que se mueva con respecto a (t,x) o a (t’,x’) con velocidad constante también será llamado sistema inercial. Un aspecto importante es que la velocidad relativa entre cualesquiera dos sistemas inerciales siempre es constante.

Figura 1. Los ejes (t,x) representan un sistema de referencia. El sistema (t’,x’) es inercial con respecto al sistema (t,x).

La generalización al caso de sistemas no inerciales es obvia. Se trata de sistemas cuya velocidad relativa no es constante, sino que depende del tiempo, es decir, son sistemas que se desplazan con cierta aceleración que puede ser, a su vez, tanto constante como variable. La presencia de la aceleración en cualquiera de sus formas implica que el sistema de referencia es no inercial.

Es preciso enfatizar que siempre es necesario contar con un primer sistema de referencia para poder comparar el movimiento de cualquier otro sistema. Este hecho parece ser muy sencillo e incluso obvio, pero lleva a una consecuencia muy importante, a saber, la característica de inercial o no inercial de un sistema de referencia no es un concepto absoluto sino relativo, es decir, depende del sistema de referencia que se tome como punto de comparación.

Un ejemplo sería un carro que se mueve con velocidad constante con respecto a la superficie de la Tierra. Obviamente podemos afirmar que el carro se encuentra en un sistema de referencia inercial con respecto a la superficie de la Tierra. Pero si tomamos como primer sistema de referencia no la superficie, sino el centro de la Tierra, la situación es completamente diferente. El carro se desplaza con velocidad angular alrededor del centro de la Tierra debido a la rotación con respecto a su propio eje; dicha velocidad genera la así llamada fuerza centrífuga que actúa sobre el carro en dirección opuesta a la dirección de la gravedad. La presencia de la fuerza centrífuga implica entonces que existe una aceleración en el sistema asociado con el carro y, por lo tanto, es un sistema no inercial. Esto significa que el carro representa un sistema inercial con respecto a la superficie de la Tierra y, simultáneamente, un sistema no inercial con respecto al centro de la Tierra. De aquí se deduce el carácter relativo de los sistemas de referencia, propiedad que forma la base conceptual de la teoría de la relatividad.

El estudio de los fenómenos físicos en sistemas inerciales es el objetivo principal de la teoría especial de la relatividad, mientras que la teoría general se concentra en los sistemas no inerciales.

RELATIVIDAD ESPECIAL: EL ESPACIO-TIEMPO

En términos muy generales se puede decir que el objetivo primordial de la relatividad especial es representar las leyes de la física de forma tal que puedan ser aplicadas en diferentes sistemas inerciales. Veamos en calidad de ejemplo el caso sencillo del movimiento rectilíneo. Consideremos para ello un cuerpo que se mueve con velocidad u’ en el sistema (t’,x’), mismo que a su vez se desplaza con velocidad constante v con respecto al sistema en reposo (t,x), tal como se muestra en la figura 1.

La pregunta que se hace la relatividad es ¿cuál será la velocidad u de la partícula en el sistema (t,x)? La respuesta parece lógica pues la experiencia diaria nos indica que las velocidades en (t,x) simplemente se suman, es decir,

u = v + u’. (1)

Si recordamos que las velocidades de la partícula en cada sistema se definen como y y tenemos en cuenta que la experiencia diaria también nos indica que el tiempo es el mismo en los dos sistemas, entonces es fácil ver que de la ecuación (1) se obtiene:

t = t ‘, x’ = x – vt (2)

Estas ecuaciones relacionan las coordenadas de los dos sistemas de referencia inerciales y son llamadas transformaciones de Galileo. Prácticamente todas las observaciones que podemos realizar con cuerpos masivos demuestran que las transformaciones de Galileo son correctas.

Sin embargo, en 1887, Mickelson y Morley llevaron a cabo un experimento del cual se deriva que la fórmula de suma de velocidades (1) ya no se cumple cuando se trata de partículas de la luz, es decir, fotones. Si la velocidad del fotón en el sistema (t’,x’) es c’, de acuerdo a las transformaciones de Galileo, en el sistema (t,x) la velocidad debe ser c=v+c’. No obstante, el experimento mostraba que c’=c, es decir, la velocidad de la luz es igual en todos los sistemas de referencia inerciales. Este resultado tiene como consecuencia que las transformaciones de Galileo no son correctas. Inmediatamente surge la pregunta, ¿cómo se deben cambiar las transformaciones para hacer que la velocidad de la luz sea igual en todos los sistemas inerciales, tal como se observa en el experimento? La respuesta la da la teoría especial de la relatividad.

La teoría especial de la relatividad predice que en lugar de la ley de suma de velocidades (1) debemos usar la siguiente relación:

donde c’ representa la velocidad de la luz en el sistema (t’,x’). Si consideramos entonces el movimiento de un fotón con velocidad u’=c’ en el sistema (t’,x’), reemplazando en la ecuación (3), obtenemos inmediatamente que c=c’, es decir, la velocidad de la luz es la misma en ambos sistemas, de acuerdo con los resultados experimentales.

Por otra parte, supongamos que nos limitamos en nuestros experimentos a analizar sistemas y cuerpos con velocidades muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, es decir, v<< c’ y  u’<< c’. Entonces, en este caso se vale que:

vu’ << c’2 (4)

y de la ecuación (3) obtenemos la ley de sumas de velocidades de Galileo (1). Esto demuestra que la ley de suma de velocidades de la relatividad especial se reduce a la ley de Galileo en el caso límite de velocidades muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz.

La ley relativista de suma de velocidades (3) resulta ser compatible desde la perspectiva matemática con las así llamadas transformaciones de Lorentz, las cuales relacionan las coordenadas del sistema inercial (t’,x’) con las del sistema (t,x) y se pueden escribir de la siguiente manera:

Nótese nuevamente que, en el límite de velocidades relativas muy pequeñas en comparación con la velocidad de la luz, es decir v<<c las transformaciones de Lorentz se reducen a las transformaciones de Galileo.

Las transformaciones de Lorentz son las ecuaciones más importantes de la relatividad especial y tienen un profundo sentido físico que habría de cambiar para siempre el concepto de tiempo y espacio. Veamos primero la ecuación (6) que relaciona las coordenadas espaciales. Se puede ver que el factor en el denominador representa la generalización relativista de la transformación de Galileo y ésta es la diferencia básica entre los dos tipos de transformaciones. Sin embargo, la ecuación (5) que relaciona la coordenada temporal en los dos sistemas es completamente diferente a la ecuación correspondiente en la transformación de Galileo. La transformación (5) indica que el tiempo no es el igual en todos los sistemas inerciales, sino que depende de la velocidad relativa de los mismos. Mientras que las transformaciones de Galileo afirman que el tiempo es un concepto absoluto, en el sentido de que es el mismo en todos los sistemas, las transformaciones de Lorentz le infieren al tiempo un carácter completamente relativista, de la misma manera como la coordenada espacial depende del sistema de referencia.

De hecho, a partir de las transformaciones de Lorentz se puede demostrar que los intervalos espaciales medidos en diferentes sistemas inerciales están relacionados por la ecuación:

donde y son los intervalos espaciales medidos en los sistemas () y (), respectivamente. Esto significa que la distancia medida por un observador en movimiento es siempre menor que la distancia medida por el observador en reposo . Este efecto es llamado contracción del espacio.

De la misma manera, se puede demostrar que la ecuación:

relaciona el intervalo de tiempo medido en sistema en reposo con el correspondiente intervalo temporal en el sistema en movimiento . Se deduce inmediatamente que la medición en el sistema en movimiento es siempre menor a la del sistema en reposo, fenómeno conocido como la dilatación del tiempo.

Los efectos mencionados anteriormente han sido medidos un sinnúmero de veces en diferentes laboratorios y bajo diferentes circunstancias. Como resultado se sabe que son efectos físicos reales de la naturaleza. Esto demuestra que tanto el espacio como el tiempo tienen un carácter relativo. Para enfatizar esta propiedad, en relatividad se suele hablar del espacio-tiempo como un ente relativo cuyas propiedades dependen del observador.

Hasta aquí se trata del movimiento en una sola dirección espacial. Sin embargo, es posible generalizar todos los resultados para incluir las tres dimensiones espaciales conocidas en la naturaleza. Aunque las fórmulas varían un poco, la esencia física sigue siendo la misma. Como resultado de esta generalización se obtiene que el espacio-tiempo es un objeto geométrico de cuatro dimensiones (4D), comúnmente llamado espacio de Minkowski. Nuestro mundo existe entonces en 4D y es conveniente expresar todas las leyes de la física mediante objetos definidos en el mismo número de dimensiones. En el espacio-tiempo es donde aparece por primera vez un ente geométrico en 4D que sirve como fondo para representar las leyes de la física en la forma adecuada.

A continuación, algunas de las magnitudes más importantes que se utilizan para expresar las leyes de la física en el lenguaje 4D de la relatividad especial. Un punto en el espacio se puede representar mediante un vector:

en coordenadas cartesianas. En el espacio 4D de Minkowski, un punto se denomina evento y se denota como:

donde el índice toma los valores

La 4-velocidad se puede definir como la derivada de con respecto al tiempo; sin embargo, el tiempo no es absoluto, sino que depende del sistema de referencia. Esto significa que hay muchos parámetros a nuestra disposición que podemos utilizar como tiempo. Es por eso que por convención se utiliza el tiempo propio para definir la 4-velocidad:

el cual corresponde al tiempo medido en el sistema donde el cuerpo bajo consideración se encuentra en reposo.

Ahora es necesario encontrar la relación entre el tiempo de coordenada t y el tiempo propio . Para ello consideremos a manera de ilustración el caso donde el cuerpo de masa m se desplaza en la dirección x=x’ con velocidad u’ con respecto al sistema (t,x). El sistema (t’,x’) se mueve junto con la masa m y se le denomina sistema comovil, es decir, corresponde a la configuración descrita en la figura 1 para el caso particular en que la velocidad original relativa de los sistemas es cero (v=0). En la figura 1 se ilustra el caso del sistema comovil.

De la ley de suma de velocidades (3) se deduce que u=u’. Además, la velocidad relativa entre el sistema (t,x) y el sistema comovil (t’,x’) está dada solamente por la velocidad del cuerpo u. Además, el tiempo comovil t’ corresponde al tiempo propio que mide el cuerpo en su sistema de referencia. Teniendo en cuenta estos argumentos, la ecuación para la dilatación del tiempo (8) sería:

De igual manera, es posible definir un 4-momento a partir de la 4-velocidad de la forma siguiente

donde hemos usado la famosa ecuación de Einstein que relaciona la masa de un cuerpo con su energía. Finalmente, la ley principal de la mecánica relativista se escribe como

la cual define la 4-fuerza y la 4-aceleración , representando de este modo la generalización relativista de la famosa ecuación de Newton Con este ejemplo se ha querido mostrar cómo se deben generalizar las leyes de la física para que se puedan aplicar en el contexto de relatividad especial.

El hecho de que el tiempo y el espacio sean magnitudes relativistas que dependen del sistema de referencia ha permitido introducir el concepto de espacio-tiempo en 4D. Este resultado, a su vez, tiene como consecuencia que es necesario generalizar todos los conceptos físicos que conocemos en 3D a conceptos en 4D y, al mismo tiempo, las leyes de la física clásica deben ser reescritas utilizando el formalismo en 4D basados en un caso sencillo de la mecánica relativista, aunque obviamente otras ecuaciones de la física como las leyes del campo electromagnético se pueden reescribir en el espacio 4D de Minkowski.

RELATIVIDAD GENERAL: GEOMETRÍA Y GRAVITACIÓN

El análisis de las leyes de la física en sistemas de referencia no inerciales es el tema central de estudio en relatividad general. En la figura 1, supongamos que el sistema (t’,x’) no es inercial porque se mueve a lo largo del eje x con velocidad variable v(t’), con respecto al sistema (t,x) que se encuentra en reposo.

En general, la velocidad v(t’) puede tener cualquier dirección, pero por sencillez nos limitamos al caso ilustrado en la figura 1. Ahora nos debemos preguntar cómo están relacionadas las coordenadas de los diferentes sistemas.

En el caso de relatividad especial vimos que las coordenadas de los sistemas inerciales se relacionan mediante las ecuaciones (5) y (6) que se caracterizan por ser lineales. Esta es exactamente la propiedad básica de las coordenadas en sistemas inerciales, mientras que las de sistemas no inerciales se caracterizan por estar relacionadas mediante ecuaciones no lineales. Un ejemplo de transformación no lineal se determina mediante las siguientes ecuaciones

donde es una constante y representa la aceleración del sistema (t’,x’) que asumimos como constante. Aquí vemos que las coordenadas temporales están relacionadas mediante una ecuación lineal, pero las espaciales contienen un término a la segunda potencia, indicando que no es lineal. La transformación anterior corresponde a un movimiento uniformemente acelerado y es quizás el ejemplo más sencillo de un sistema de referencia no inercial.

En general, una transformación no lineal se puede expresar en términos de funciones arbitrarias:

t’ = t’ (t, x), x’ = x’ (t, x) (18)

cuya única restricción es que exista la transformación inversa, es decir, que de la ecuación (18) se pueda derivar la transformación y . Resulta claro que los sistemas no inerciales son mucho más generales y frecuentes que los inerciales puesto que, en principio, existe un número infinito de funciones no lineales del tipo (18), mientras que las funciones lineales en su totalidad están contenidas en las transformaciones de Lorentz expresadas en las ecuaciones (5) y (6).

Ya que los sistemas inerciales pueden ser considerados como un caso particular de los no inerciales, cuando las transformaciones están dadas en términos de funciones lineales, el espacio-tiempo a analizar es nuevamente 4-dimensional. Por lo tanto, el punto de partida será de nuevo el concepto de evento en coordenadas Cartesianas. Cada evento forma parte de un espacio-tiempo 4-dimensional y para describirlo es necesario utilizar el lenguaje de la geometría diferencial. He aquí donde aparecen nuevos conceptos geométricos que son de importancia en la descripción de la relatividad general.

Desde el punto de vista conceptual, la teoría general de la relatividad se basa en dos principios: el primero indica que las leyes de la física no deben depender del sistema de referencia en el que se aplican. Esto significa que, en todos los sistemas no inerciales, las ecuaciones que rigen los procesos físicos se deben poder escribir de forma tal que su validez sea general. Esta afirmación es conocida como el principio de covariancia general y fue formulado por Albert Einstein a principios del siglo XX. Para implementar este principio de la manera adecuada fue necesario introducir nuevas herramientas matemáticas que hoy se conocen como cálculo tensorial.

El segundo principio conceptual de la relatividad general es llamado el principio de equivalencia, el cual establece una relación entre la aceleración y la gravitación. Consideremos el caso de un observador que se encuentra dentro de un elevador bajo la acción de un campo gravitacional constante con aceleración . Si el elevador se está moviendo en la dirección contraria al campo gravitacional con una aceleración constante el principio de equivalencia débil afirma que el observador dentro del elevador no puede diferenciar entre las dos situaciones. Esto significa que localmente no es posible distinguir entre un campo gravitacional y un movimiento acelerado. En la figura 2 ilustramos la idea del principio de equivalencia débil.

Figura 2. Ilustración de la igualdad local entre aceleración y gravitación. Un individuo que observa el cuerpo no puede diferenciar lo que sucede.

Por otra parte, si nos imaginamos el elevador en caída libre en un campo gravitacional, tal como se ilustra en la figura 3, el principio de equivalencia fuerte asegura que no es posible detectar la gravitación dentro del elevador. Para un observador en caída libre no existe el campo gravitacional y las leyes de la física deben ser las mismas que en la teoría especial de la relatividad.

Figura 3. Principio de equivalencia fuerte para un observador en caída libre.

El principio de equivalencia fuerte establece la relación entre la teoría especial y la general, implicando que la descripción 4-dimensional de la teoría general de la relatividad debe contener a la teoría especial en el límite cuando las transformaciones entre los sistemas son lineales, una guía importante para formular la teoría general.

Los argumentos y principios mencionados muestran que una descripción correcta de la relatividad general está obligada a cumplir ciertas condiciones: basarse en geometría diferencial, usar el formalismo del cálculo tensorial y explicar los fenómenos en los que interviene el campo gravitacional. La construcción de una teoría con todas estas características fue una tarea que tomó cerca de diez años en ser completada. El resultado final fueron las ecuaciones de Einstein que hoy en día siguen siendo consideradas como la mejor manera de describir el campo gravitacional.

* Universidad Nacional Autónoma de México. Contacto: quevedo@nucleares.unam.mx

 

REFERENCIAS

Misner, C., Thorne, K., Wheeler, J. (1973). Gravitation. W. H. USA: Freeman and Company.

Hazen, R. M. (2013). Story of Earth. Nueva York: Penguin Books.

Schutz, B. (2009). A first course in general relativity. USA: Cambridge University Press. Disponible en: http://202.38.64.11/~jmy/documents/ebooks/Schutz A First Course in General Relativity (Second Edition).pdf

Wikipedia: The Free Encyclopedia. (2017). First observation of gravitational waves. Disponible en: https://en.wikipedia.org/wiki/First_observation_ of_gravitational_waves

Recibido: 03-10-16

Aceptado:17-10-16